Question

Исследуйте функцию( найти наибольшее и наименьшее значение заданной функции на отрезке [-1;5], найдите точки экстремумов функции, укажите промежутки возрастания и убывания функции) y=x^3-9x^2+24x-1

Answer 1

Дана функция y=x^3-9x^2+24x-1.

Производная равна: y' = 3x² - 18x + 24 = 3(x² - 6х + 8).

Приравняем её нулю: 3(x² - 6х + 8) = 0 (множитель в скобках).

x² - 6х + 8= 0.  Д = 36 - 32 = 4.  х1,2 = (6+-2)/2 = 4; 2.

У функции 2 критических точки:  х1 = 2, х2 = 4.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

x = 1 2 3 4 5

y' = 9 0 -3 0 9 .

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Минимум функции в точке х = 2,  у = 19.

Максимум в точке х = 4,  у = 15.

Возрастает на промежутках (-∞; 2) и (4; +∞).

Убывает на промежутке (2; 4).

На заданном промежутке [-1; 5] минимум будет в точке х = -1, у = -35. а максимум в точке х = 2, y = 19.

В точке х = 5 значение у = 19. Так что имеем 2 максимума на заданном промежутке.

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для исследования функции y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1 на отрезке [-1;5] выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.

2. Вычислим вторую производную, чтобы определить характер точек экстремума (максимум или минимум).

3. Найдем значения функции на концах интервала [-1;5].

4. Определим промежутки возрастания и убывания функции.

5. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции: y'(x) = 3x^2 - 18x + 24.

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 - 18x + 24 = 0.

Вынесем общий множитель 3: x^2 - 6x + 8 = 0.

Факторизуем уравнение: (x - 4)(x - 2) = 0.

Решения: x1 = 2 и x2 = 4.

Эти две точки (x1 и x2) представляют собой кандидатов на точки экстремума.

Шаг 2: Найдем вторую производную: y''(x) = 6x - 18.

Шаг 3: Найдем значения функции на концах интервала [-1;5]: y(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 24(-1) - 1 = -1 + 9 - 24 - 1 = -17, y(5) = 5^3 - 95^2 + 245 - 1 = 125 - 225 + 120 - 1 = 19.

Шаг 4: Определим промежутки возрастания и убывания функции, используя производную:

a) Для x < 2: Проверим производную при x = 1 (между -1 и 2): y'(1) = 31^2 - 181 + 24 = 3 - 18 + 24 = 9 > 0.

Это означает, что функция возрастает на интервале [-1;2).

b) Для 2 < x < 4: Проверим производную при x = 3 (между 2 и 4): y'(3) = 33^2 - 183 + 24 = 27 - 54 + 24 = -3 < 0.

Это означает, что функция убывает на интервале (2;4).

c) Для x > 4: Проверим производную при x = 5 (после 4): y'(5) = 35^2 - 185 + 24 = 75 - 90 + 24 = 9 > 0.

Это означает, что функция возрастает на интервале (4;5).

Шаг 5: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции:

• Наибольшее значение на интервале [-1;5] равно 19 (в точке x = 5).
• Наименьшее значение на интервале [-1;5] равно -17 (в точке x = -1).

Итак, наибольшее значение функции на интервале [-1;5] равно 19, оно достигается при x = 5, а наименьшее значение равно -17, оно достигается при x = -1. Также мы определили точки экстремума: x = 2 (минимум) и x = 4 (максимум).