Question

Исследовать функцию и построить график y=2x^3-3x^2-12x

Answer 1

ДАНО:Y(x) = 2*x³ -3*x² -12*x

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

2*x²- 3*x - 12 = 0.  D = 105, √105≈ 10.247

Разложим многочлен на множители. Y=(x+1,81)*x*(x-3,31)

Нули функции: Х₁ = -1,81, Х₂ = 0,  Х₃ = 3,31

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-1,81]U[0;3,31]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-1,81;0]U[3,31;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0  

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    

Y'(x) =  6*x² -6*x -12 = 6*(x²-x-2) = 6*(x+1)*(x-2) = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ = -1    Х₅= 2

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄= -1) = 7.   Минимум - Ymin(X₅ = 2) = -20

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-1;]U[2;+∞) , убывает - Х∈[-1;2]

12. Вторая производная - Y"(x) = 12*x - 6 = 12*(x - 0.5)  = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆= 0,5

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0,5]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0,5; +∞).

14. График в приложении.

∀

Answer 2

Для исследования функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем производные функции.
2. Определим точки экстремума и точки перегиба.
3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции.
4. Определим поведение функции при x -> ±бесконечность.

Давайте начнем с нахождения производных:

Первая производная (производная функции по x): y' = d/dx(2x^3 - 3x^2 - 12x) = 6x^2 - 6x - 12.

Вторая производная (производная первой производной по x): y'' = d/dx(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв первую производную к нулю и решив уравнение:

6x^2 - 6x - 12 = 0.

Мы можем поделить это уравнение на 6 для упрощения:

x^2 - x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0.

Отсюда получаем два решения: x = 2 и x = -1.

Теперь определим интервалы возрастания и убывания функции, используя знаки производной y':

1. Когда x < -1, y' > 0, что значит, что функция возрастает на этом интервале.
2. Когда -1 < x < 2, y' < 0, что значит, что функция убывает на этом интервале.
3. Когда x > 2, y' > 0, и функция снова возрастает.

Теперь определим поведение функции при x -> ±бесконечность.

Когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности, главное влияние на функцию оказывает член с наибольшей степенью, то есть 2x^3. Поэтому при x -> ±бесконечность, функция также будет стремиться к ±бесконечности.

Теперь мы готовы построить график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x, используя найденную информацию:

1. Функция имеет экстремумы при x = -1 и x = 2.
2. Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -1) и (2, +бесконечность) и убывает на интервале (-1, 2).

На графике мы увидим, что функция имеет локальный минимум при x = -1 и локальный максимум при x = 2. График также будет стремиться к бесконечности по обе стороны оси x.

К сожалению, я не могу построить график непосредственно в этом окне чата, но вы можете использовать графический программный инструмент, такой как Matplotlib в Python, или онлайн-калькулятор графиков, чтобы построить график функции с учетом указанных выше характеристик.