Question

Log(16-8x)<=log(x^2-6x+8)-log(x+5) Везде основание 1/5

Answer 1

16 - 8x ≥ (x² -6x +8)/(x +5)      (1/5 < 1)

16 - 8x - (x² -6x +8)/(x +5) ≤ 0

((16 -8x)(x +5) -(x² -6x +8))/(x +5) ≤ 0

(16x -8x² +80-40x -x² +6x -8)/(x +5) ≤ 0

(-9x² -18x +72)/(x +5) ≤ 0

метод интервалов

-9x² -18x +72  =  0               x +5  = 0

-4  и  2                                    - 5

-∞          -5         -4         2         +∞

         -          -           +         -          это знание  -9x² -18x +72  

         -          +           +         +        это знаки   х + 5

                 IIIIIIIIIIIII          IIIIIIIIIIIII   это решение  (-9x² -18x +72)/(x +5) ≤ 0

Ответ : х (-5; -4]∪[2; +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами с одинаковой основой (1/5) можно использовать следующий подход:

1. Начнем с того, что нам дано неравенство: log(16 - 8x) ≤ log(x^2 - 6x + 8) - log(x + 5)

2. Воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов равна логарифму отношения аргументов: log(16 - 8x) ≤ log((x^2 - 6x + 8) / (x + 5))

3. Теперь у нас есть неравенство двух логарифмов с одинаковой основой, и мы можем избавиться от логарифмов, применив экспоненту с основанием 1/5 к обеим сторонам неравенства:

   16 - 8x ≤ (x^2 - 6x + 8) / (x + 5)

4. Умножим обе стороны на (x + 5), чтобы избавиться от дроби:

   (16 - 8x)(x + 5) ≤ x^2 - 6x + 8

5. Раскроем скобки и упростим неравенство:

   80 - 24x - 8x^2 - 40x ≤ x^2 - 6x + 8

6. Переносим все члены на одну сторону неравенства:

   0 ≤ 9x^2 - 14x - 72

7. Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения 9x^2 - 14x - 72 = 0 и определить интервалы, на которых это уравнение положительно или равно нулю.

8. Решим уравнение:

   9x^2 - 14x - 72 = 0

9. Факторизуем, используя метод декомпозиции:

   (3x + 18)(3x - 4) = 0

10. Получаем два решения:

3x + 18 = 0 => 3x = -18 => x = -6 3x - 4 = 0 => 3x = 4 => x = 4/3

11. Теперь можем построить таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется:

Первый интервал: x < -6 Второй интервал: -6 < x < 4/3 Третий интервал: x > 4/3

12. Проверим значения на каждом интервале в исходном неравенстве:

• Для первого интервала (x < -6):

  Подставим x = -7: log(16 - 8(-7)) ≤ log((-7)^2 - 6(-7) + 8) - log(-7 + 5) log(72) ≤ log(63) - log(-2)

  Обратите внимание, что логарифм отрицательного числа не определен, поэтому этот интервал не подходит.

• Для второго интервала (-6 < x < 4/3):

  Подставим x = 0: log(16 - 8(0)) ≤ log((0)^2 - 6(0) + 8) - log(0 + 5) log(16) ≤ log(8) - log(5)

  Этот интервал подходит.

• Для третьего интервала (x > 4/3):

  Подставим x = 2: log(16 - 8(2)) ≤ log((2)^2 - 6(2) + 8) - log(2 + 5) log(0) ≤ log(0) - log(7)

  Этот интервал не подходит.

Таким образом, неравенство выполняется только на интервале -6 < x < 4/3.