Question

В четырёхугольнике ABCD вписана окружность AB=7, CD=19. Найдите периметр этого четырёхугольника

Answer 1

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма длин противоположных сторон четырехугольника равны, то есть:

AB + CD = BC + AD

Периметр четырехугольника ABCD:

P = AB + CD + BC + AD = 2(AB+CD) = 2 · (7 + 19) = 52

Ответ: 52.

Answer 2

Чтобы найти периметр четырёхугольника ABCD, вам потребуется найти длины всех его сторон.

Поскольку ABCD - четырёхугольник, в котором вписана окружность, мы знаем, что диаметр окружности равен сумме длин сторон AD и BC (так как каждая из них касается окружности).

Пусть AD = x и BC = y. Тогда мы имеем следующее:

x + y = диаметр окружности = AB + CD = 7 + 19 = 26

Теперь нам нужно найти длины сторон AD и BC. Для этого нам понадобится знание о свойствах вписанных четырёхугольников.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180 градусам. Таким образом, угол BAD + угол BCD = 180 градусов.

Угол BAD - это угол, образованный диаметром окружности AB и стороной AD. Так как AD касается окружности, он перпендикулярен радиусу, который проведен в точке касания, и поэтому угол BAD является прямым углом.

Угол BCD - это угол, образованный диаметром окружности CD и стороной BC. Также, так как BC касается окружности, угол BCD также является прямым углом.

Таким образом, у нас есть два прямых угла, и их сумма равна 180 градусам. Это означает, что угол BCD = 180 градусов - угол BAD = 180 градусов - 90 градусов = 90 градусов.

Таким образом, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и его стороны AD и BC являются его диагоналями. Мы знаем, что в прямоугольнике диагонали равны по теореме Пифагора.

Таким образом,

x^2 + y^2 = AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2 = 7^2 + 19^2 = 49 + 361 = 410

Теперь у нас есть система уравнений:

x + y = 26 x^2 + y^2 = 410

Можно решить эту систему численно. Одним из способов сделать это является методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из первого уравнения можно выразить одну из переменных, например, x:

x = 26 - y

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

(26 - y)^2 + y^2 = 410

Раскроем скобки и упростим:

676 - 52y + y^2 + y^2 = 410

2y^2 - 52y + 676 - 410 = 0

2y^2 - 52y + 266 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для начала разделим его на 2, чтобы упростить:

y^2 - 26y + 133 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4(1)(133) = 676 - 532 = 144

y = (-b ± √D) / (2a)

y1 = (-(-26) + √144) / (2 * 1) = (26 + 12) / 2 = 38 / 2 = 19 y2 = (-(-26) - √144) / (2 * 1) = (26 - 12) / 2 = 14 / 2 = 7

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 19 и y2 = 7. Однако мы видим, что x = 26 - y, и если y больше 13 (половина суммы AB и CD), то x становится отрицательным, что не имеет смысла в контексте длины стороны. Поэтому мы выбираем y = 7.

Теперь мы знаем, что y = 7, и можем найти x:

x = 26 - y = 26 - 7 = 19

Теперь у нас есть значения для обеих сторон AD и BC:

AD = x = 19 BC = y = 7

Теперь мы можем найти периметр четырёхугольника ABCD, сложив длины его сторон:

Периметр = AB + BC + CD + DA = 7 + 7 + 19 + 19 = 52

Ответ: Периметр четырёхугольника ABCD равен 52.