Question

На доске записано натуральное число. Николай заметил, что может двумя способами приписать к нему цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Сколькими способами он может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 3?

Answer 1

Ответ:

4 способа.

Пошаговое объяснение:

Признак делимости на 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3.

Пусть на доске записано некоторое натуральное число. По условию к нему двумя способами приписать цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Пусть сумма цифр числа равно S.

Рассмотрим случаи:

Случай-1. Число не делится на 9, тогда и сумма цифр S не делится на 9, то есть остаток от деления числа S больше нуля: S=k·9+A, где k - целое не отрицательное число, А остаток от деления и 0<A<9. Если к остатке прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим неравенство

0<A+В<9+В≤18 или 0<A+В<18

Поэтому к нему можно приписать только одну цифру В так, чтобы S+В делилась на 9. По условию можно двумя способами приписать, что означает не этот случай.

Случай-2. Число делится на 9, тогда и сумма цифр S делится на 9, то есть остаток от деления числа S равен нулю: S=k·9+0, где k - целое не отрицательное число. Так как k·9 делиться на 9, то если к нему прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим k·9+В и это число делится на 9, если В=0 или В=9. Поэтому по условию именно этот случай имеется в виду.

В таком случае, имея в виду то, что 9=3² перепишем сумму цифр числа: S=k·9=m·3, где m - натуральное число. Если к нему прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим m·3+В и это число делится на 3, если В делится на 3. Поэтому цифра В может быть только цифрами 0, 3, 6 и  9.

Ответ: 4 способа.

Answer 2

Для того чтобы число делилось на 9, сумма всех его цифр должна быть кратна 9. Если мы приписываем к числу ещё одну цифру справа, это равносильно увеличению суммы цифр числа на эту цифру.

Пусть исходное число имеет n цифр, и его сумма цифр равна S. Для того чтобы число делилось на 9, должно выполняться условие:

S + x ≡ 0 (mod 9)

где x - приписываемая цифра.

Единственное число x (цифра), которое приписывая к числу дает остаток 0 при делении на 9, это 0. Таким образом, Nikolay может приписать только одну цифру (0), чтобы полученное число делилось на 9.

Теперь рассмотрим условие, при котором число должно делиться на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3:

S + x ≡ 0 (mod 3)

где x - приписываемая цифра.

Сумма цифр числа S может иметь остаток 0, 1 или 2 при делении на 3. Поскольку x - одна из цифр от 0 до 9, существует три способа добавить цифру x так, чтобы полученная сумма S + x делилась на 3:

1. Если S ≡ 0 (mod 3), то x может быть любой цифрой от 0 до 9 (10 способов).
2. Если S ≡ 1 (mod 3), то x может быть 2, 5 или 8 (3 способа).
3. Если S ≡ 2 (mod 3), то x может быть 1, 4 или 7 (3 способа).

Итак, Nikolay может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 3, в сумме 10 + 3 + 3 = 16 способами.