Question

Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А(1;3;3), В(3;-1;5), С(0;2;-1)

Answer 1

Ответ:

D(-2; 6; -3)

Пошаговое объяснение:

Пусть D(x; y; z). ABCD параллелограмм, поэтому для вершин имеет место равенство (диагонали параллелограмма пересекаются ровно по середине)

(B+D)/2=(A+C)/2 ⇒ D=A+C-B:

x=1+0-3= -2

y=3+2-(-1)= 6

z=3+(-1)-5=-3

Answer 2

Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD можно воспользоваться свойствами параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны по длине, и диагонали делятся пополам.

1. Найдем векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AB} = (3 - 1, -1 - 3, 5 - 3) = (2, -4, 2),$$

$$\overrightarrow{AC} = (0 - 1, 2 - 3, -1 - 3) = (-1, -1, -4).$$

2. Средняя точка диагонали AC будет равна среднему арифметическому векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} = \left(\frac{2 + (-1)}{2}, \frac{(-4) + (-1)}{2}, \frac{2 + (-4)}{2}\right) = (0.5, -2.5, -1).$$

3. Теперь, зная вектор $\overrightarrow{AD}$ и координаты точки A, можем найти координаты точки D:

$$D(x, y, z) = A(1, 3, 3) + \overrightarrow{AD} (0.5, -2.5, -1) = (1 + 0.5, 3 - 2.5, 3 - 1) = (1.5, 0.5, 2).$$

Итак, координаты вершины D параллелограмма ABCD: $D(1.5, 0.5, 2)$.