Question

13. а) Решите уравнение 4·16^cosx - 9·4^cosx + 2 = 0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -2π; -π/2 ]

Answer 1

Обозначим :  4^cos(x)=y        (y>=0)

4y^2-9y+2=0   y^2-2*9/8y=-1/2  (y-9/8)^2=49/64

y1=9/8-7/8=1/4  y2=2

cos(x)=-1    или    cos(x)=0,5

В  первом случае х=пи*(2к-1), где к любое целое

Во втором случае х=пи/3+2*пи*к или х=2пи/3+2пи*к к-любое целое

На заданном отрезке лежит один  корень х= -пи

Answer 2

Для решения уравнения 4·16^cosx - 9·4^cosx + 2 = 0, давайте введем замену, чтобы упростить его. Обратите внимание, что 16 = 4^2, поэтому можно записать:

4·(4^2)^cosx - 9·4^cosx + 2 = 0.

Теперь используем свойство степеней для упрощения:

4·4^(2cosx) - 9·4^cosx + 2 = 0.

Заметим, что у нас есть общий множитель 4^cosx. Давайте сделаем замену y = 4^cosx:

4y^2 - 9y + 2 = 0.

Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью обычной квадратной формулы:

D = (-9)^2 - 4·4·2 = 81 - 32 = 49.

Итак, D положительно, что означает, что у нас есть два корня:

y1 = (-(-9) + √49) / (2·4) = (9 + 7) / 8 = 16/8 = 2, y2 = (-(-9) - √49) / (2·4) = (9 - 7) / 8 = 2/8 = 1/4.

Теперь мы знаем значения y, но мы хотели найти значения cosx. Вспомним, что y = 4^cosx:

1. Для y = 2: 4^cosx = 2.

Возьмем логарифм обеих сторон по основанию 4:

cosx = log₄(2).

2. Для y = 1/4: 4^cosx = 1/4.

Аналогично, возьмем логарифм обеих сторон по основанию 4:

cosx = log₄(1/4).

Теперь мы имеем два уравнения для cosx. Давайте рассмотрим каждое из них:

а) cosx = log₄(2). б) cosx = log₄(1/4).

Для решения пункта б) мы можем использовать то, что log₄(1/4) = -log₄(4) = -1. Таким образом, получаем:

б) cosx = -1.

Теперь у нас есть два уравнения:

а) cosx = log₄(2), б) cosx = -1.

Для каждого из этих уравнений найдем корни на интервале [-2π; -π/2].

На интервале [-2π; -π/2] значения косинуса (cosx) отрицательны. Поэтому рассмотрим только уравнение б):

б) cosx = -1.

На этом интервале решением этого уравнения будет:

x = arccos(-1) = π.

Итак, единственным корнем уравнения 4·16^cosx - 9·4^cosx + 2 = 0, принадлежащим отрезку [-2π; -π/2], является x = π.