Question

Решить линейное однородное ДУ y''-10y'+21y=0 y(0)=1 y'(0)=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' - 10y' + 21y = 0 мы можем использовать характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

r^2 - 10r + 21 = 0.

Чтобы найти его корни, мы можем использовать квадратное уравнение. Для этого давайте рассмотрим уравнение вида:

r^2 - 10r + 21 = 0.

Мы можем разложить его на множители:

(r - 7)(r - 3) = 0.

Таким образом, получаем два корня:

r1 = 7, r2 = 3.

Теперь у нас есть корни характеристического уравнения, и мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

y(t) = c1 * e^(7t) + c2 * e^(3t),

где c1 и c2 - произвольные константы, которые мы определим из начальных условий y(0) = 1 и y'(0) = 1.

Давайте подставим начальные условия и решим систему уравнений:

1. y(0) = c1 * e^(0) + c2 * e^(0) = c1 + c2 = 1,
2. y'(0) = 7c1 * e^(0) + 3c2 * e^(0) = 7c1 + 3c2 = 1.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Давайте выразим c1 и c2 из неё:

Из уравнения 1 выразим c2: c2 = 1 - c1.

Подставим это значение во второе уравнение:

7c1 + 3(1 - c1) = 1.

Раскроем скобки и решим уравнение:

7c1 + 3 - 3c1 = 1, 4c1 = -2, c1 = -1/2.

Теперь, зная c1, мы можем найти c2:

c2 = 1 - c1 = 1 - (-1/2) = 1 + 1/2 = 3/2.

Итак, найденные значения констант:

c1 = -1/2, c2 = 3/2.

Теперь мы можем записать окончательное решение дифференциального уравнения:

y(t) = (-1/2) * e^(7t) + (3/2) * e^(3t).