Question

3 log^2_4 x-7log_4 x+2=0 3 log икс по основанию 4 во второй степени минус 7log х по основанию 4 все это +2=0 надо решить уравнение, помогите подалуйста

Answer 1

Ответ:

$x_1 = 16 \\ x_2 = \sqrt[3]{4}$

Пошаговое объяснение:

$3 log^2_4 x-7log_4 x+2=0$

ОДЗ:

$x > 0$

Пусть,

$t = log_4 x \\ 3t {}^{2} -7t +2=0 \\ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \\ D =25 = 5 {}^{2} > 0 \\ t_1 = \frac{ - ( - 7) + \sqrt{25} }{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \\ t_2 = \frac{ 7 - 5 }{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Обратная замена:

$t_1 = 2 \\ log_{4}x = 2 \\ log_{4}x = 2log_{4}4 = log_{4}(4 {}^{2}) \\ \log_{4}x = \log_{4}16 = > x = 16 \\ \\ t_2 = \frac{1}{3} \\ \log_{4}x = \frac{1}{3} \\ \log_{4}x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4}4 = log_{4}(4 {}^{\frac{1}{3}}) \\ \log_{4}x = \log_{4}( \sqrt[3]{4}) \: \: = > x = \sqrt[3]{4}$

Ответ:

х1 = 16;

х2 = ³√(4)

Answer 2

Давайте решим это уравнение поэтапно. У вас есть уравнение:

$3\log_4^2(x) - 7\log_4(x) + 2 = 0.$

Для упрощения, давайте введем новую переменную. Пусть $u = \log_4(x)$, тогда у нас будет:

$3u^2 - 7u + 2 = 0.$

Теперь это квадратное уравнение. Давайте попробуем его решить. Мы можем попробовать разложить его на множители или использовать квадратное уравнение:

$3u^2 - 7u + 2 = 0.$

Для удобства, мы можем умножить обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

$9u^2 - 21u + 6 = 0.$

Теперь давайте попробуем решить это квадратное уравнение:

$9u^2 - 21u + 6 = 0.$

Мы можем попробовать разложить его на множители или использовать квадратное уравнение. Попробуем разложить:

$9u^2 - 21u + 6 = (3u - 2)(3u - 3) = 0.$

Теперь у нас есть два линейных уравнения:

1. $3u - 2 = 0$, отсюда получаем $u = \frac{2}{3}$.
2. $3u - 3 = 0$, отсюда получаем $u = 1$.

Теперь, когда мы нашли значения $u$, мы можем вернуться к исходной переменной $x$:

1. Если $u = \frac{2}{3}$, то $\log_4(x) = \frac{2}{3}$. Чтобы найти $x$, возведем 4 в степень $\frac{2}{3}$:

$\log_4(x) = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{16}.$

2. Если $u = 1$, то $\log_4(x) = 1$. Тогда:

$\log_4(x) = 1 \Rightarrow x = 4^1 = 4.$

Итак, у нас есть два решения уравнения:

1. $x = \sqrt[3]{16}$
2. $x = 4$