Question

У коло вписана трапеція, діагональ якої перпендикулярна бокової стороні й утворює з основою кут 60 градусів.Знайдіть висоту трапеції, якщо радіус кола дорівнює 5× корінь з 3.​

Answer 1

Ответ: ∠ЕЦУ = 60° по условию

∠КЦУ = 1/2*∠ЕЦУ = 30°

В ΔКЦУ катет КУ равен радиусу вписанной окружности

КУ = 6√3/2 = 3√3

Это катет против угла в 30 градусов, гипотенуза в 2 раза больше

КЦ = 2*КУ = 6√3

По теореме Пифагора найдём второй катет

ЦУ² + КУ² = КЦ²

ЦУ² + (3√3)² = (6√3)²

ЦУ² + 9*3 = 36*3

ЦУ² + 27 = 108

ЦУ² = 81

ЦУ = 9

ЦЩ = ЦУ*2 = 18

Тупой угол при верхнем основании

∠ЕНГ = 180 - ∠ЕЦУ = 180 - 60 = 120°

∠ГНК = 1/2*∠ЕНК = 120/2 = 60°

В ΔНГК

ГК = 3√3

∠НКГ = 180 - 90 - 60 = 30°

НК = 2*НГ

НК² = НГ² + ГК²

(2*НГ)² = НГ² + (3√3)²

4*НГ² = НГ² + 9*3

3*НГ² = 27

НГ² = 9

НГ = 3

НШ = 2*НГ = 6

S = 1/2*(ЦЩ + НШ)*ГУ = 1/2*(18 + 6)*6√3 = 12*6√3 = 72√3

Answer 2

Для знаходження висоти трапеції вам спочатку потрібно знайти довжину основи та діагоналі трапеції.

Діагональ трапеції перпендикулярна боковій стороні і утворює з основою кут 60 градусів, отже, ми маємо у прямокутному трикутнику прямий кут (90 градусів), один гострий кут 60 градусів і інший гострий кут α, який є кутом між діагоналлю і основою трапеції.

Знаючи це, ми можемо використовувати тригонометричні функції. Позначимо діагональ як D, основу трапеції як b і висоту як h.

Тоді трикутник виглядає так:

Copy code
 /|
/ |

D / | / α| /___| b

Ми знаємо, що тангенс кута α дорівнює відношенню протилежної сторони (h) до прилеглої сторони (b):

tan(α) = h / b

А також, ми знаємо, що тангенс кута 60 градусів дорівнює √3, оскільки:

tan(60°) = √3

Таким чином, ми можемо записати:

√3 = h / b

Тепер ми маємо вираз для h в термінах b:

h = √3 * b

Ми також знаємо, що радіус кола дорівнює 5√3. Оскільки діагональ трапеції є діаметром кола, ми можемо записати:

D = 2 * радіус кола

D = 2 * 5√3 = 10√3

Тепер ми можемо використовувати теорему Піфагора в трикутнику для знаходження основи b:

b^2 + h^2 = D^2

Підставимо значення D і h:

b^2 + (√3 * b)^2 = (10√3)^2

b^2 + 3b^2 = 300

4b^2 = 300

b^2 = 75

b = √75 = 5√3

Тепер ми знаємо основу трапеції b, і ми можемо знайти висоту h:

h = √3 * b = √3 * 5√3 = 15

Отже, висота трапеції дорівнює 15.