Question

Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?​

Answer 1

Відповідь:

а) Пусть событие А – никакие два лица одного пола не сядут рядом. Общее число способов рассадки 14 лиц на 14 местах определяется числом перестановок n = Р14 = 14!. Если женщины займут чётные места 7! способами, то мужчины будут занимать нечётные места также 7! способами и наоборот, т.е. число случаев, благоприятствующих событию А равно m1 = 2 ∙ ( 7! )2. Поэтому справедливо

р(А) = m1/n = 0,00058

б) Пусть событие В – мужчины и женщины (7 пар) сядут рядом. В этом случае число исходов m2, благоприятствующих событию В определяется числом 7! всевозможных перестановок 7 пар, причём в каждой паре возможна перестановка мужчины и женщины; по правилу произведения m2 = 7! ∙ 27 . Будем иметь

р(В) = m2/n = 0,0000074

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом включений и исключений (принципом включений-исключений).

Сначала рассмотрим количество способов, при которых никакие две женщины не сидят рядом. Мы можем рассматривать мужчин и женщин как некоторые группы, их можно посадить вокруг круглого стола $(14-1)!$ способами.

Теперь рассмотрим случаи, когда какие-то две или более женщины сидят рядом. Посчитаем количество способов, когда две конкретные женщины сидят рядом. Мы можем рассматривать эту пару женщин как одну единицу. Таким образом, у нас есть $13!$ способов посадить 12 "единиц" (6 пар) и 7 мужчин вокруг стола. Однако у нас есть 7 способов выбрать пару женщин из 7, таким образом, есть $7 \times 12!$ способов, когда конкретная пара женщин сидит рядом.

Также нужно учесть случаи, когда две пары женщин сидят рядом. Есть $\binom{7}{2} = 21$ способов выбрать две пары женщин. Каждую пару можно посадить как одну "единицу", затем у нас остаются 5 "единиц" и 7 мужчин для посадки вокруг стола, что дает $21 \times 5! \times 7!$ способов.

Применяя принцип включений-исключений, общее количество способов, при которых никакие две женщины не сидят рядом, равно:

$(14-1)! - 7 \times 12! + 21 \times 5! \times 7!$

Это выражение можно вычислить, чтобы получить окончательный ответ.