Question

Для функции f(x)=3х²+2х-6х⁵-1 найдите первообразную, график которой проходит через точку М(1; – 4)

Answer 1

Ответ: $F(x)=x^3+x^2-x^6-x-4$

Пошаговое объяснение:

$F(x)=\int {3x^2+2x-6x^5-1}=x^3+x^2-x^6-x+C$

Подставляем координаты точки M:

$-4 = 1^3+1^2-1^6-1+C\\C=-4$

Ответ:

$F(x)=x^3+x^2-x^6-x-4$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 6x^5 - 1$, которая проходит через точку $M(1, -4)$, мы будем интегрировать $f(x)$ и использовать условие $F(1) = -4$, где $F(x)$ - первообразная.

Итак, начнем с нахождения первообразной $F(x)$ функции $f(x)$:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 6x^5 - 1) dx$

Раскладываем на части и интегрируем каждую по отдельности:

$F(x) = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 6x^5 dx - \int 1 dx$

Теперь найдем интеграл каждого слагаемого:

$\int 3x^2 dx = x^3$ $\int 2x dx = x^2$ $\int 6x^5 dx = -\frac{6}{6}x^6 = -x^6$ $\int 1 dx = x$

Теперь сложим эти интегралы:

$F(x) = x^3 + x^2 - x^6 + C$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем использовать условие $F(1) = -4$ для нахождения значения постоянной $C$:

$F(1) = 1^3 + 1^2 - 1^6 + C = 1 + 1 - 1 + C = 1 + C = -4$

Отсюда находим $C$:

$C = -4 - 1 = -5$

Итак, первообразная функции $f(x)$ с учетом условия прохода через точку $M(1, -4)$ равна:

$F(x) = x^3 + x^2 - x^6 - 5$