Question

Решить тригонометрическое уравнение: 3cos10x+cos5x+2=0

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = - + \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x_{2} = - + arccos \frac{1}{3} + 2\pi \: n$

n€Z

Пошаговое объяснение:

cos10x=cos(2×5x)=2cos^2(5x)-1 - по формуле косинус двойного аргумента

3×(2cos^2(5x)-1)+cos5x+2=0

6 cos^2(5x)+cos(5x)-1=0 - тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

cosx=t, t€[-1;1]

6t^2+t-1=0

t1=(-1/2), t2=(1/3)

обратная замена:

$t_{1} = - \frac{1}{2} \\ cosx = - \frac{1}{2} \\ x = - + arccos( - \frac{1}{2}) + 2\pi \: n \\ x = - + (\pi - arccos \frac{1}{2}) + 2\pi \: n$

$x = - + \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n$

$t_{2} = \frac{1}{3} \\ cosx = \frac{1}{3} \\ x = - + arccos \frac{1}{3} + 2\pi \: n$

Answer 2

Для решения тригонометрического уравнения $3\cos(10x) + \cos(5x) + 2 = 0$, давайте попробуем привести его к более простому виду.

Для начала, давайте заменим $\cos(10x)$ и $\cos(5x)$ более простыми обозначениями. Пусть $a = \cos(5x)$, тогда $2a = \cos(10x)$. Подставим это в уравнение:

$3(2a) + a + 2 = 0$

Решим полученное уравнение:

$6a + a + 2 = 0$

$7a + 2 = 0$

$7a = -2$

$a = -\frac{2}{7}$

Теперь мы знаем значение $a$. Заменим обратно $\cos(5x) = -\frac{2}{7}$. Теперь решим уравнение относительно $x$:

$\cos(5x) = -\frac{2}{7}$

$5x = \arccos\left(-\frac{2}{7}\right)$

$x = \frac{1}{5}\arccos\left(-\frac{2}{7}\right)$

Таким образом, решение уравнения $3\cos(10x) + \cos(5x) + 2 = 0$ это $x = \frac{1}{5}\arccos\left(-\frac{2}{7}\right)$.