Question

Решите уравнения и неравенства: а) 7×5^х - 5^х+1=2×5^-3 б)2^х-3=25^х-3 в)4^х²-0,25<1 Доказать, что уравнение 3^х+4^х=5^х имеет один корень

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а) 7•5х-5х+1=5-3

35х-5х+1=2

30х=2-1

30х=1

х= 1/30

б) 2х-3=25х-3

2х-25х=3-3

-23х=0

х=0

в) 4х^2-0,25<1

4х^2<1+0,25

4х^2<1,25

Answer 2

а) Решение уравнения 7×5^х - 5^х+1 = 2×5^-3:

Сначала объединим слагаемые с одной и той же степенью 5:

7×5^х - 5^х × 5 + 2×5^-3 = 0.

Теперь вынесем 5^х за скобки:

5^х(7 - 5 + 2×5^-3) = 0.

Упростим скобку:

5^х(2×5^-3) = 0.

Теперь разделим обе стороны на 2×5^-3:

5^х/5^-3 = 0.

Используем свойство степеней:

5^(х + 3) = 0.

Теперь мы видим, что левая сторона равенства равна 0, только если экспонента (х + 3) равна 0:

х + 3 = 0.

Отсюда получаем:

х = -3.

б) Решение уравнения 2^х-3 = 25^х-3:

Для начала преобразуем 25 в степень двойки, так как мы имеем дело с разными основаниями:

2^х-3 = (5^2)^х-3 = 5^(2х-6).

Теперь у нас есть уравнение с одним и тем же основанием:

2^х-3 = 5^(2х-6).

Сравним экспоненты:

х - 3 = 2х - 6.

Теперь решим это уравнение:

х - 2х = -6 + 3, -х = -3.

Умножим обе стороны на -1:

х = 3.

в) Неравенство 4^х² - 0,25 < 1:

Сначала упростим левую сторону:

4^х² - 0,25 < 1.

Теперь выразим 0,25 как 1/4:

4^х² - 1/4 < 1.

Теперь прибавим 1/4 к обеим сторонам неравенства:

4^х² < 1 + 1/4, 4^х² < 5/4.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

√(4^х²) < √(5/4).

4^х < √(5/4).

Теперь возведем обе стороны в степень 1/2:

(4^х)^(1/2) < (√(5/4))^(1/2).

2^х < √(5/4).

Теперь выразим √(5/4) как √5/√4:

2^х < (√5/√4).

2^х < (√5/2).

Теперь возьмем логарифм с обоих сторон по основанию 2:

х < log₂(√5/2).

Это решение неравенства.

г) Чтобы доказать, что уравнение 3^х + 4^х = 5^х имеет один корень, давайте предположим, что оно имеет более одного корня. Если есть два различных корня, скажем, a и b, то:

3^a + 4^a = 5^a и 3^b + 4^b = 5^b.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

(3^a - 3^b) + (4^a - 4^b) = (5^a - 5^b).

Факторизуем левую сторону:

3^b(3^(a-b) - 1) + 4^b(4^(a-b) - 1) = 5^b(5^(a-b) - 1).

Теперь заметим, что каждое из слагаемых на левой стороне является положительным числом, так как 3^(a-b) - 1, 4^(a-b) - 1 и 5^(a-b) - 1 все больше нуля (если a > b, что предполагается, так как a и b разные корни).

Таким образом, мы имеем положительное число (левая сторона) равное положительному числу (правая сторона). Это невозможно, поэтому наше предположение о наличии двух различных корней неверно. Уравнение 3^х + 4^х = 5^х имеет только один корень.