Question

Точность наладки станка автомата, производящего некоторые детали, характеризуется дисперсией длины деталей. Если эта величина будет больше 400 мкм^2, станок останавливается для наладки. Выборочная дисперсия длинны 15 случайно отобранных деталей из продукции станка оказалась равной s^2=680 мкм^2. Нужно ли производить наладку станка, если уровень значимости α = 0,10?

Answer 1

Пошаговое объяснение:

По условию задачи требуется проверить нулевую гипотезу о значении дисперсии генеральной совокупности

против альтернативной (правосторонняя критическая область).Величина уровня значимости a определяет ширину критической области: чем больше a , тем шире критическая область .

По таблице распределения x^2 учитывая а =0.10

v=n-1=14

найдем критические значение статистики

x^2=29.14

x^2=21.06

Вычеслим эксперементаьное значение

x(эксп) =15*680/400=25.5

При a=0.10 нулевая гипотеза противоречит опытным данным, следовательно, станок нужно наладить.

Answer 2

Для определения, нужно ли производить наладку станка, можно воспользоваться статистическим тестом гипотезы. В данном случае, нулевая гипотеза (H0) будет состоять в том, что дисперсия длины деталей не превышает 400 мкм^2, а альтернативная гипотеза (H1) будет заключаться в том, что дисперсия длины деталей больше 400 мкм^2.

Уровень значимости α = 0,10 означает, что мы готовы допустить ошибку первого рода (ложное срабатывание теста) в 10% случаев.

Для проведения теста, сначала вычислим статистику теста, которая называется статистикой Фишера (F-статистика) и вычисляется по формуле:

$F = \frac{s^2}{\sigma^2}$

где:

• $s^2$ - выборочная дисперсия (в данном случае, 680 мкм^2).
• $\sigma^2$ - гипотетическая (предполагаемая) дисперсия, равная 400 мкм^2.

Теперь мы можем вычислить значение F-статистики:

$F = \frac{680}{400} = 1.7$

Далее, нам нужно определить критическое значение F-статистики для заданного уровня значимости α и степеней свободы. В данном случае, степени свободы равны $n-1$ для выборки и $m-1$ для гипотетической дисперсии, где $n$ - размер выборки, $m$ - количество случайно отобранных деталей.

В нашем случае $n = 15$ и $m = 1$ (гипотетическая дисперсия). Поэтому степени свободы для выборки $n-1 = 14$ и для гипотетической дисперсии $m-1 = 0$.

Теперь мы можем найти критическое значение F-статистики на уровне значимости α = 0,10 для степеней свободы 14 и 0. Вы можете воспользоваться таблицей критических значений F-распределения или калькулятором для этого. Для α = 0,10 получим критическое значение F-статистики, например, около 2,977 (значение зависит от используемой таблицы или калькулятора).

Теперь сравниваем вычисленное значение F-статистики (1,7) с критическим значением (примерно 2,977). Если $F < 2,977$, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (H0) о том, что дисперсия длины деталей не превышает 400 мкм^2.

В данном случае, 1,7 < 2,977, поэтому на уровне значимости α = 0,10 у нас нет достаточных данных для того, чтобы утверждать, что станок нужно настраивать. То есть, станок не требует наладки на данный момент.