Question

1. На рубеж случайно вызывается один из трех стрелков. Вероятность вызова первого стрелка равна 0,3; второго- 0,5, а третьего- 0,2. Вероятности попадания для них 0,8; 0,9 и 0,6 соответственно. Найти вероятность, что цель будет поражена. Какова вероятность того, что стрелял второй стрелок, если цель поражена? 2. На сборку поступают детали с двух заводов- изготовителей, причем они поставляют их в равном количестве. У первого завода брак составляет 4%, у второго 3%. Наугад взяли две детали. Найти вероятность, что они обе доброкачественные. Какова вероятность, что эти детали изготовлены первым заводом, если они обе доброкачественные? 3. Станок обрабатывает три вида деталей, причем затраты времени распределяются между ними в отношении 1:5:4. При обработке первой детали станок работает с максимальной нагрузкой в течение 70% времени, при обработке второй детали в течение 50%, а третей- 20% времени. Найти вероятность того, что в случайно выбранный момент времени станок будет работать с максимальной нагрузкой. Какова вероятность того, что работающий с максимальной нагрузкой станок обрабатывает деталь третьего вида? пожалуйста, если можно, с подробным решением( заранее спасибо

Answer 1

Стрелка 3, выстрелил 1. Любой из трех; P=1/3; вероятность кто стрелял одинакова; 1стрелка=2стрелка=3стрелка; 
P1(А)=P2(А)=P3(А)=1/3; 
Первый. Попал Р1=0,3; не попал q1=1-0,3=0,7; Два выстрела Р1((А|Н1)=0,7•0,7=0,49; 
Второй. Попал Р2=0,5; не попал q2=1-0,5=0,5; Два выстрела P2(А|Н2)=0,5•0,5=0,25; 
Третий. Попал P3=0,8; не попал q3=1-0,8=0,2; Два выстрела P3(А|Н3)=0,2•0,2=0,04; 
По формуле байеса если будет событие Р(А |Н1); 
Р(А |Н1)= {(Р(А|Н1)•Р(А)} / {Р(А|Н1)•Р(А)+ Р(А|Н2)•Р(А)+ Р(А|Н3)•Р(А)}; 
Р(А|Н1)=(0,49•1/3) / (0,49•1/3+ 0,25•1/3+ 0,04•1/3)= (049•1/3) / (1/3•(049+0,25+0,04))= (0,49•1/3)/1/3•0,78= 0,49/0,78= 0,6282=~~0,63. 

Answer 2

Для решения этих задач, воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть:

• A1: событие, что выбран первый стрелок.
• A2: событие, что выбран второй стрелок.
• A3: событие, что выбран третий стрелок.
• B: событие, что цель поражена.
• C: событие, что обе детали доброкачественные.
• D1: событие, что деталь изготовлена первым заводом.
• D2: событие, что деталь изготовлена вторым заводом.
• E: событие, что станок работает с максимальной нагрузкой.
• F: событие, что работающий станок обрабатывает деталь третьего вида.

1. Вероятность, что цель будет поражена: P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + P(B|A3) * P(A3) P(B) = 0.8 * 0.3 + 0.9 * 0.5 + 0.6 * 0.2 P(B) = 0.24 + 0.45 + 0.12 P(B) = 0.81

2. Вероятность, что обе детали доброкачественные: P(C) = P(C|D1) * P(D1) + P(C|D2) * P(D2) P(C) = (0.96 * 0.04) + (0.97 * 0.03) P(C) = 0.0384 + 0.0291 P(C) = 0.0675

3. Вероятность, что станок работает с максимальной нагрузкой: P(E) = P(E|F) * P(F) + P(E|~F) * P(~F) P(E) = (0.2 * 0.2) + (0.5 * 0.8) P(E) = 0.04 + 0.4 P(E) = 0.44

Теперь найдем вероятность, что работающий станок обрабатывает деталь третьего вида: P(F|E) = P(E|F) * P(F) / P(E) P(F|E) = (0.2 * 0.2) / 0.44 P(F|E) = 0.04 / 0.44 P(F|E) ≈ 0.0909

Таким образом, вероятность того, что работающий с максимальной нагрузкой станок обрабатывает деталь третьего вида, составляет приблизительно 0.0909 или около 9.09%.