Question

100! Как доказать условие перпендикулярности прямых? Т. е, то что k1*k2=-1?Распишите, как можно более подробно. ​

Answer 1

Пусть первая прямая имеет угловой коэффициент $k_1=\mathrm{tg}\ \alpha$, а вторая прямая имеет угловой коэффициент $k_2=\mathrm{tg}\ \beta$, где $\alpha$ и $\beta$ - соответствующие углы наклона прямых к положительному направлению оси $Ox$.

Рассмотрим угол между этими прямыми. Пусть $\alpha >\beta$, тогда он равен $\alpha -\beta$. Найдем соотношение между этим углом и угловыми коэффициентами прямых. Используем формулу тангенса разности:

$\mathrm{tg}(\alpha -\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}\ \alpha-\mathrm{tg}\ \beta }{1+\mathrm{tg}\ \alpha\ \mathrm{tg}\ \beta } =\dfrac{k_1-k_2 }{1+k_1k_2 }$

Так как мы хотим получить условие перпендикулярности двух прямых, то считаем угол между прямыми $\alpha -\beta=90^\circ$.

$\mathrm{tg}90^\circ=\dfrac{k_1-k_2 }{1+k_1k_2 }$

Тангенс 90 градусов не определен, но можно сказать что он стремится к бесконечности к стремлении аргумента к 90 градусам.

$\dfrac{k_1-k_2 }{1+k_1k_2 }\rightarrow \infty$

Но если дробь стремится к бесконечности, то знаменатель стремится к нулю.

$1+k_1k_2 \rightarrow 0$

В пределе знаменатель равен нулю. Тогда получим:

$1+k_1k_2 =0$

$\boxed{k_1k_2 =-1}$

Можно выразить один из коэффициентов:

$\boxed{k_1 =-\dfrac{1}{k_2} }$

Тогда формулируется легкое правило: Две прямые перпендикулярны, когда их угловые коэффициенты являются противоположными обратными числами.

Answer 2

Для доказательства условия перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$, где $k_1$ и $k_2$ - это угловые коэффициенты прямых $y = k_1x + c_1$ и $y = k_2x + c_2$ соответственно, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Запишем уравнения двух прямых:

   Прямая 1: $y = k_1x + c_1$ Прямая 2: $y = k_2x + c_2$

2. Предположим, что прямые перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен 90 градусам. Это равносильно тому, что произведение их угловых коэффициентов равно -1.

   $k_1 \cdot k_2 = -1$

3. Теперь давайте докажем это. Рассмотрим две произвольные прямые с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$, и предположим, что они перпендикулярны друг другу.

4. Выразим угол между этими прямыми через угловые коэффициенты. Угол между прямыми можно найти, используя формулу:

   $\tan(\theta) = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}$

   Где $\theta$ - угол между прямыми.

5. Мы знаем, что прямые перпендикулярны, поэтому $\theta = 90^\circ$, а $\tan(90^\circ) = \infty$. Это означает, что

   $0 = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}$

6. Теперь умножим обе стороны на $1 + k_1k_2$:

   $0 = k_2 - k_1$

7. И переместим $k_1$ на другую сторону:

   $k_1 = k_2$

8. Теперь, если прямые действительно перпендикулярны, то угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ должны быть равными, что означает:

   $k_1 \cdot k_2 = k_2 \cdot k_2 = k_2^2 = 1$

   Отсюда получаем:

   $k_2 = \pm 1$

   Так как мы предполагали, что прямые имеют разные угловые коэффициенты, то $k_2$ не может быть равным 1 или -1. Таким образом, единственным вариантом является $k_2 = -1$.

Это доказывает, что если угловые коэффициенты двух прямых $k_1$ и $k_2$ удовлетворяют условию $k_1 \cdot k_2 = -1$, то эти прямые перпендикулярны друг другу.