Question

Решите уравнение: cos 2x = 2sin квадрат x

Answer 1

Ответ:

x1= pi/6+pi*k      x2=5pi/6+pi*k    k E  Z

Пошаговое объяснение:

cos 2x = 2(sin x)^2

(cosx)^2-(sinx)^2=2(sin x)^2

1-(sin x)^2- (sin x)^2=2*(sin x)^2

1-4*sin(x)^2=0

sin(x)^2=1/4

Sin(x1)=1/2                                            Sin( x2)=-1/2

Здесь каждое уравнение имеет по 2 вида корней  х11 и х12 первое уравнение и х21 , х22-  второе уравнение

x11= pi/6+2*pi*k                                     x21= 7/6 *pi+2*pi*k

x12=5pi/6+2*pi*k                                   x22= 11/6 *pi+2*pi*k

k E Z-  k принадлежит множеству целых чисел.

Решения x11 , x21   , а также   x12 и x22 можно попарно обьединить так как расстояние между ними равно pi:

x1= pi/6+pi*k      x2=5pi/6+pi*k    k E  Z

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(2x) = 2sin^2(x).

Сначала воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь у нас есть:

2cos^2(x) - 1 = 2sin^2(x)

Теперь можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) (используя тождество Пифагора):

2cos^2(x) - 1 = 2(1 - cos^2(x))

Раскроем скобки:

2cos^2(x) - 1 = 2 - 2cos^2(x)

Теперь сложим -2cos^2(x) с обеих сторон уравнения:

2cos^2(x) - 1 + 2cos^2(x) = 2 - 2cos^2(x) + 2cos^2(x)

Это упрощается до:

4cos^2(x) - 1 = 2

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

4cos^2(x) - 1 + 1 = 2 + 1

4cos^2(x) = 3

Делите обе стороны на 4:

cos^2(x) = 3/4

Чтобы найти cos(x), возьмем квадратный корень с обеих сторон:

cos(x) = ±√(3/4)

cos(x) = ±√3/2

Так как мы ищем значения x, где cos(x) равно этому значению, у нас есть два решения:

1. cos(x) = √3/2: Это соответствует углу x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

2. cos(x) = -√3/2: Это соответствует углу x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение cos(2x) = 2sin^2(x) имеет бесконечно много решений:

1. x = π/6 + 2πn, где n - целое число.
2. x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.