Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x²+3 в точке х0=1. Сделайте рисунок

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 3$ в точке $x_0 = 1$, нам нужно найти производную функции и затем подставить значение $x_0$ в эту производную.

1. Найдем производную $f(x)$:

$f'(x) = 2x$

2. Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь мы знаем, что наклон касательной к графику функции в точке $x_0 = 1$ равен 2.

3. Уравнение касательной имеет следующий вид:

$y - y_0 = m(x - x_0)$

где $y$ - значение функции $f(x)$ в точке $x$, $y_0$ - значение функции в точке $x_0$, $m$ - наклон касательной, $x$ - независимая переменная.

Подставляем значения:

$y - f(1) = 2(x - 1)$

$y - (1^2 + 3) = 2(x - 1)$

$y - 4 = 2(x - 1)$

Теперь это уравнение можно упростить:

$y - 4 = 2x - 2$

И окончательное уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$ выглядит следующим образом:

$y = 2x - 2 + 4$

$y = 2x + 2$

Теперь давайте построим график функции $f(x)$ и найденной касательной линии:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем функцию f(x)
def f(x):
    return x**2 + 3

# Задаем уравнение касательной
def tangent_line(x):
    return 2*x + 2

# Создаем массив значений x
x = np.linspace(-2, 4, 400)

# Вычисляем соответствующие значения y для функции f(x) и касательной
y = f(x)
tangent_y = tangent_line(x)

# Строим графики
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x) = x^2 + 3', color='blue')
plt.plot(x, tangent_y, label='Tangent Line', color='red')
plt.scatter(1, 4, color='green', label='Point (1, 4)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции и касательной в точке (1, 4)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Этот код создает график функции $f(x)$ и ее касательной линии в точке $x = 1$. Красная линия представляет уравнение касательной, а зеленая точка - точку касания касательной с графиком функции.