Question

Задание № 1. Даны вершины А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15) треугольника АВС. Требуется найти: а) уравнение стороны АС; б) длину высоты, проведенной из вершины А; в) величину угла В (в радианах).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) A(5;3), C(-4;15)

AC; y=kx+b;

3=5k+b;

15=-4k+b; 15-3=-4k-5k; 9k=-12; k=-12/9; k=-4/3=-1 1/3

                 3=5*(-4/3)+b; b=3+20/3; b=29/3=9 2/3

AC: y=-4/3 x+29/3

б) B(-11;-9), C(-4;15)

  BC: y=kx+b;

уравнение перпендикуляа к стороне BC

⊥BC: y=-1/k *x+b

сторона BC:

-9=-11k+b;

15=-4k+b;  15-(-9)=-4k-(-11k); 24=7k; k=24/7=3,43; k=3,43

                  -9=-11*3,43+b; b=-9+37,73=28,73; b=28,73

BC: y=3,43x+28,73;

перпендикуляр к BC, проходящий через т.А

⊥BC(A): y=-0,29 *x+b

⊥BC(A): 3=-0,29*5+b; b=3+1,45=4,45

⊥BC(A): y=-0,29x+4,45;

точка пересечения перпендикуляра со стороной BC (т.D):

BC ∩ ⊥BC(A):

y=3,43x+28,73

y=-0,29x+4,45;

3,43x+28,73=-0,29x+4,45;

3,43x+0,29x=4,45-28,73;

3,72x=-24,28;

x=-24,28/3,72=-6,5;

y=3.43*(-6,5)+28,73=6,34;

D(-6,5;6,34)

A(5;3)

длина высоты - это расстояние между т А и D:

l AD l=√(5-(-6,5))²+(3-6,34)²)=√(132,25+11,15)=11,97;

l AD l≅12.

в) ∠B-?

∠B = ∠ между  l AB l и l BC l

AB: y=kx+b;

3=5k+b;

-9=-11k+b;  -9-3=-11k-5k;  -12=-16k; k=-12/-16=0,75;

                   3=5*0,75+b; b=3-3,75=-0,75;

AB: y=0,75x-0,75;

BC: y=3,43x+28,73;

∠B=arctg3,43-arctg0.75=1,28-0,64=0,64 рад

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться различными геометрическими методами и формулами. Давайте решим каждую часть задачи по порядку:

а) Уравнение стороны AC: Для нахождения уравнения стороны AC, нам нужно использовать координаты вершин A и C. Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), можно записать в виде:

$y - y1 = m(x - x1),$

где m - угловой коэффициент прямой.

Для нахождения углового коэффициента m, используем точки A(5, 3) и C(-4, 15):

$m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} = \frac{15 - 3}{-4 - 5} = \frac{12}{-9} = -\frac{4}{3}.$

Теперь мы можем записать уравнение прямой, проходящей через A и C:

$y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 5).$

Раскроем скобки:

$3y - 9 = -4x + 20.$

Прибавим 9 к обеим сторонам уравнения:

$3y = -4x + 29.$

Теперь разделим обе стороны на 3, чтобы получить уравнение стороны AC:

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{29}{3}.$

б) Длина высоты, проведенной из вершины A: Чтобы найти длину высоты из вершины A, нужно найти расстояние от точки A(5, 3) до прямой AC. Для этого воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой:

$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}},$

где уравнение прямой в общем виде Ax + By + C = 0.

Для уравнения AC: y = -4x/3 + 29/3, коэффициенты A, B и C равны:

A = 4/3, B = -1, C = -29/3.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{|5(4/3) + 3(-1) - 29/3|}{\sqrt{(4/3)^2 + (-1)^2}}.$

Рассчитаем числитель:

$|20/3 - 3 - 29/3| = |(20 - 9 - 29)/3| = |-18/3| = 6.$

Теперь вычислим знаменатель:

$\sqrt{(4/3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16/9 + 1} = \sqrt{(16 + 9)/9} = \sqrt{25/9} = 5/3.$

Теперь можем найти длину высоты:

$d = \frac{6}{5/3} = 6 * 3/5 = 18/5 = 3.6\text{ единиц длины}.$

в) Величина угла B в радианах: Для нахождения величины угла B нам понадобится использовать тригонометрию. Угол между сторонами AB и BC можно найти с использованием скалярного произведения векторов.

Пусть вектор AB = (x1, y1) = (5, 3) и вектор BC = (x2, y2) = (-11, -9).

Скалярное произведение векторов AB и BC равно:

$AB * BC = |AB| * |BC| * cos(B),$

где |AB| и |BC| - длины векторов AB и BC, а B - угол между ними.

Длины векторов AB и BC можно найти с использованием формулы:

$|AB| = \sqrt{x1^2 + y1^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34},$

$|BC| = \sqrt{x2^2 + y2^2} = \sqrt{(-11)^2 + (-9)^2} = \sqrt{121 + 81} = \sqrt{202}.$