Question

Помогите найти частное решение дифференциального уравнения(x^2)*y'=2x*y+3 y(1)=-1​

Answer 1

$(x^2)*y'-2x*y=3\\ \dfrac{1}{x^2}y'+\dfrac{-2}{x^3}y=\dfrac{3}{x^4}\\ (\dfrac{1}{x^2}y)'_x=\dfrac{3}{x^4}\\ \dfrac{1}{x^2}y=C-\dfrac{1}{x^3}\\ y=Cx^2-\dfrac{1}{x}\\ y(1)=-1=>-1=C-1=>C=0\\ y=-\dfrac{1}{x}$

Answer 2

Давайте найдем частное решение данного дифференциального уравнения. Уравнение имеет вид:

(x^2)*y' = 2xy + 3.

Для начала преобразуем его в более удобную форму, разделив обе стороны на x^2:

y' = (2y/x) + 3/x.

Теперь это уравнение можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения мы можем использовать метод интегрирования.

Выполним замену переменных, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

dy/dx = (2y/x) + 3/x.

dy/dx - (2y/x) = 3/x.

Теперь у нас есть линейное дифференциальное уравнение в стандартной форме. Для его решения воспользуемся методом интегрирующего множителя. Сначала найдем интегрирующий множитель (μ):

μ(x) = e^(∫(-2/x)dx).

μ(x) = e^(-2ln|x|).

μ(x) = 1/|x|^2.

Умножим обе стороны уравнения на μ(x):

(1/|x|^2) * dy/dx - (2/|x|^2) * y = 3/(x^3).

Теперь левая сторона уравнения является полным дифференциалом. Проинтегрируем обе стороны:

∫(1/|x|^2) * dy - ∫(2/|x|^2) * y dx = ∫(3/x^3) dx.

Интегрирование даст нам:

(y/|x|^2) + 2∫(y/|x|^3) dx = -3/(2x^2) + C,

где C - произвольная постоянная интеграции.

Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫(y/|x|^3) dx.

Для интегрирования этого выражения можно сделать замену переменных. Пусть z = |x|, тогда dx = dz, и мы получим:

∫(y/z^3) dz.

Теперь это стандартный интеграл:

∫(y/z^3) dz = -(y/(2z^2)) + C1,

где C1 - еще одна произвольная постоянная интеграции.

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

(y/|x|^2) - (y/(2|x|^2)) + C1 = -3/(2x^2) + C.

Теперь у нас есть общее выражение для частного решения данного дифференциального уравнения. Чтобы найти конкретное решение, мы можем использовать начальное условие y(1) = -1:

(y/|1|^2) - (y/(2|1|^2)) + C1 = -3/(2*1^2) + C, (y/1) - (y/2) + C1 = -3/2 + C, y - (y/2) + C1 = -3/2 + C, (2y - y)/2 + C1 = -3/2 + C, y/2 + C1 = -3/2 + C.

Теперь подставим начальное условие y(1) = -1:

(1/2) * (-1) + C1 = -3/2 + C, -1/2 + C1 = -3/2 + C.

Теперь выразим C из этого уравнения:

C = -1/2 + C1 + 3/2, C = C1 + 1.

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием y(1) = -1 имеет вид:

y/2 + C1 = -3/2 + C1 + 1, y/2 = -1/2, y = -1.

Таким образом, частное решение уравнения (x^2)*y' = 2xy + 3 с начальным условием y(1) = -1 это y(x) = -1.