Question

Решите в целых числах x^2=4y+1

Answer 1

x^2=4y+1

x^2 >=0 значит 4y + 1 >= 0  y >= -1/4  y∈ [0, +∞)

x^2 - 1 = 4y

y = (x - 1)(x + 1)/4

(x - 1)(x + 1) должно нацело делится на 4

1. (x - 1)/4 нацело

x = 4k + 1  k ∈ Z

y = (4k + 1 - 1)(4k + 1 + 1)/4 = k(4k + 2) = 2k(2k + 1) >=0

+++++++[-1/2] ----------- [0] +++++++++  k∈ (-∞, -1] U [0, +∞) k ∈Z

2. (x + 1)/4 нацело

x = 4k - 1  k ∈ Z

y = (4k - 1 - 1)(4k - 1 + 1)/4 = k(4k - 2) = 2k(2k - 1) >=0

+++++++[0] ----------- [1/2] +++++++++  k∈ (-∞, 0] U [1, +∞) k ∈Z

3. оба четных (х-1) и (х+ 1)

x = 2k -1  

y = (2k - 1 - 1)(2k - 1 + 1)/4 = 2k(2k - 2)/4 = k(k - 1)

++++++++++[0] ---------- [1] ++++++++++  k ∈ Z

x = 2k + 1

y = (2k + 1 - 1)(2k + 1 + 1)/4 = 2k(2k + 2)/4 = k(k + 1)

++++++++++[-1] ---------- [0] ++++++++++  k ∈ Z

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение в целых числах:

x^2 = 4y + 1

Заметим, что 4y + 1 является нечетным числом, так как 4y - четное, а к четному числу добавляем 1, получаем нечетное число. Теперь давайте рассмотрим возможные случаи для x:

1. Если x четное, то x^2 также будет четным числом. Но мы знаем, что правая сторона уравнения 4y + 1 - нечетное число. Таким образом, в этом случае уравнение не имеет целых решений.

2. Если x нечетное, то x^2 также будет нечетным числом. В этом случае, 4y + 1 также должно быть нечетным числом. Рассмотрим 4y: если он четный, то 4y + 1 будет нечетным. Если 4y нечетное, то 4y + 1 также будет нечетным. Таким образом, x должно быть нечетным, чтобы уравнение имело целые решения.

Теперь мы знаем, что x должно быть нечетным числом. Давайте представим x как x = 2k + 1, где k - целое число. Подставим это значение в исходное уравнение:

(2k + 1)^2 = 4y + 1

Раскроем скобки:

4k^2 + 4k + 1 = 4y + 1

Упростим уравнение, вычитая 1 с обеих сторон:

4k^2 + 4k = 4y

Теперь мы можем поделить обе стороны на 4:

k^2 + k = y

Таким образом, у нас есть бесконечное количество целых решений этого уравнения, если x задается как x = 2k + 1, где k - целое число, и y = k^2 + k.