Question

Найти возрастания убывания точки максимума минимума y = x^3/ 3 - x^2-3x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=\frac{x^3}{3}-x^2-3x\\y'=\frac{3x^2}{3}-2x-3=x^2-2x-3\\y'=0\\x^2-2x-3=0\\\\x_{1,2}=\frac{2^+_-\sqrt{4+12} }{2}=\frac{2^+_-4}{2}\\x_1=3\\x_2=-1\\(x-3)(x+1)=0\\+++++(-1)-----(3)+++++$

Если у'>0, функция возрастает. Если y'<0, убывает.

⇒ возрастает при х∈(-∞;-1)∪(3;+∞),

убывает при х∈(-1;3).

Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=-1 ⇒x=-1 - max.

Производная меняет знак с "-" на "+" в точке х=3 ⇒x=3 - min

Answer 2

Чтобы найти точки максимума и минимума функции y = x^3/3 - x^2 - 3x, мы должны сначала найти её производную и найти моменты, когда производная равна нулю. Эти моменты будут потенциальными точками экстремума. Затем мы проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить, является ли экстремум максимумом или минимумом.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = (x^3/3 - x^2 - 3x)' = (1/3 * x^3)' - (x^2)' - (3x)' = (x^2) - (2x) - 3.

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю: x^2 - 2x - 3 = 0.

3. Решим квадратное уравнение: x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0.

Таким образом, у нас есть две потенциальные точки экстремума: x = 3 и x = -1.

4. Теперь найдем вторую производную функции y: y''(x) = (x^2 - 2x - 3)' = (2x - 2).

5. Оценим знак второй производной в каждой из потенциальных точек экстремума:

   • Для x = 3: y''(3) = 2 * 3 - 2 = 6 - 2 = 4 (положительное значение).

   • Для x = -1: y''(-1) = 2 * (-1) - 2 = -2 - 2 = -4 (отрицательное значение).

Теперь мы можем сделать выводы:

• При x = 3 у нас есть минимум, так как вторая производная положительна.
• При x = -1 у нас есть максимум, так как вторая производная отрицательна.

Таким образом, точка минимума находится в (3, y(3)), а точка максимума находится в (-1, y(-1)). Выразим значения y в этих точках:

• Для x = 3: y(3) = (3^3/3) - 3^2 - 3 * 3 = 9 - 9 - 9 = -9.

• Для x = -1: y(-1) = (-1^3/3) - (-1)^2 - 3 * (-1) = -1/3 - 1 + 3 = 8/3.

Итак, точка минимума: (3, -9), и точка максимума: (-1, 8/3).