Question

В елочной гирлянде восемь лампочек: две желтых, три красных, три синих. Сколькими способами их можно расположить в гирлянде?

Answer 1

Ответ:

560

Пошаговое объяснение:

Если бы все лампочки были разными, количество расположений было бы 8!. Но так как есть одинаковые, то это число надо разделить на количество перестановок одинаковых лампочек.

Ответ: $\frac{8!}{2!3!3!}=560$

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно, перестановки с повторениями.

Итак, у нас есть 8 лампочек в гирлянде, из которых 2 желтых, 3 красных и 3 синих.

Сначала найдем общее количество способов разместить эти 8 лампочек без ограничений. Это число задается формулой перестановок с повторениями:

$N_{общ} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 3! \cdot 3!}}$.

Здесь $8!$ - общее количество перестановок 8 лампочек без ограничений, а $2!$, $3!$ и еще $3!$ - факториалы для учета повторяющихся элементов (две желтые, три красные и три синие лампочки).

Вычислим $N_{общ}$:

$N_{общ} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 3! \cdot 3!}} = \frac{{40320}}{{2 \cdot 6 \cdot 6}} = 560$.

Таким образом, общее количество способов разместить лампочки в гирлянде без учета цвета - 560.

Теперь учтем цвета лампочек. Среди данных 560 способов у нас есть:

1. 2 желтые лампочки. Способов разместить их: $C(8, 2) = \frac{{8!}}{{2! \cdot (8 - 2)!}} = 28$.

2. 3 красные лампочки. Способов разместить их: $C(6, 3) = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6 - 3)!}} = 20$.

3. 3 синие лампочки. Способов разместить их: $C(3, 3) = 1$.

Теперь умножим количество способов для каждого цвета, чтобы получить общее количество способов разместить лампочки с учетом их цвета:

$N_{с_цветом} = 28 \times 20 \times 1 = 560$.

Таким образом, общее количество способов расположить лампочки в гирлянде с учетом их цвета равно 560.