Question

Новогодняя гирлянда составлена из красных и жёлтых лампочек, которые идут в таком порядке: одна красная, две жёлтых, три красных, четыре жёлтых, пять красных, шесть жёлтых и т. д. Всего в гирлянде 36 лампочек. Сколько всего красных лампочек в этой гирлянде?

Answer 1

В гирлянде 16 красных лампочек.

Answer 2

Так как в задаче идёт последовательность то получается 16красных и 20желтых лампочек

Answer 3

Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться арифметической прогрессией, так как количество лампочек в гирлянде следует определенному закону.

Давайте обозначим количество красных лампочек буквой \(К\). Тогда жёлтых лампочек будет в два раза больше, то есть \(2К\).

Теперь мы можем составить уравнение, представляя сумму арифметической прогрессии:

\[К + 2К + 3К + 4К + 5К + \ldots = 36\]

Теперь сложим коэффициенты перед \(К\):

\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ldots\]

Это сумма первых \(n\) натуральных чисел, где \(n\) - количество членов последовательности. Формула суммы такой прогрессии:

\[S_n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\]

В данной задаче у нас есть 36 лампочек, поэтому уравнение выглядит так:

\[\frac{n \cdot (n + 1)}{2} = 36\]

Решим это уравнение. Умножим обе стороны на 2:

\[n \cdot (n + 1) = 72\]

Раскроем скобки:

\[n^2 + n = 72\]

Полученное квадратное уравнение можно решить. Решениями будут два числа, одно из которых будет отрицательным, а второе - положительным. В данном контексте выбираем положительное число, так как количество лампочек не может быть отрицательным.

\[n^2 + n - 72 = 0\]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(n\). После этого мы можем подставить его в исходное уравнение \(К + 2К + 3К + \ldots\), чтобы найти количество красных лампочек. Однако, чтобы сократить вычисления, можно заметить, что \(n\) должно быть близким к \(\sqrt{72}\), так как \(\sqrt{72} \approx 8.49\), и ближайшее целое положительное число - 9.

Таким образом, у нас есть арифметическая прогрессия из 9 членов, и мы можем использовать формулу для суммы первых 9 натуральных чисел:

\[S_9 = \frac{9 \cdot (9 + 1)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{90}{2} = 45\]

Теперь у нас есть сумма первых 9 членов прогрессии, которая равна 45. Так как каждый красный член прогрессии повторяется через один, у нас будет 45 красных лампочек. Таким образом, в гирлянде 45 красных лампочек.