Question

Сколько существует стозначных чисел, сумма цифр которых равна 16, у которых в разряде десятков стоит 2, в разряде сотен — 3, а в разряде миллиардов — 9?

Answer 1

Ответ:

97

Пошаговое объяснение:

В начале любого числа стоит ненулевая цифра. Пусть первая цифра равна 1. Тогда сумма цифр в числе равна 1 + 2 + 3 + 9 = 15. Чтобы сумма цифр стала равна 16, нужно все доступные разряды заменить на нули, но один из них заменить на единицу. Так как из 100 цифр занято 4, то существует 96 способов разместить единицу среди оставшихся разрядов.

Пусть первая цифра равна 2. Тогда сумма цифр уже равна 16, все оставшиеся разряды возможно заменить только нулями. Получаем ещё одно подходящее число.

Если же первая цифра больше 2, то сумма цифр будет больше 16, эти варианты заведомо не подходят.

Итого 97 подходящих чисел.

Answer 2

Для нахождения количества стозначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, мы можем использовать комбинаторику.

У нас есть следующие ограничения:

1. Сумма цифр числа должна быть равна 16.
2. В разряде десятков стоит 2.
3. В разряде сотен стоит 3.
4. В разряде миллиардов стоит 9.

Оставшаяся сумма (16 - 2 - 3 - 9) равна 2. Таким образом, у нас есть 2 единицы, которые мы можем разместить в оставшихся разрядах. Мы можем это сделать следующими способами:

1. В разряде единиц стоит 2, а все остальные разряды (десятки, сотни, миллиарды) равны нулю.
2. В разряде единиц стоит 1, в разряде миллионов стоит 1, а все остальные разряды (десятки, сотни) равны нулю.

Итак, у нас есть два варианта размещения оставшихся цифр. Для каждого из этих вариантов у нас есть следующие возможности:

• В разряде десятков можно поставить любую из 10 цифр (0-9).
• В разряде сотен можно поставить любую из 10 цифр (0-9).
• В разряде миллиардов можно поставить только цифру 9.

Итак, для первого варианта (десятки, сотни и миллиарды равны нулю) у нас есть 10 * 10 * 1 = 100 возможных чисел.

Для второго варианта (десятки и сотни равны нулю, миллионные равны 1 и 9) у нас есть 10 * 10 * 1 = 100 возможных чисел.

Общее количество чисел, удовлетворяющих заданным условиям, равно сумме этих двух вариантов, то есть 100 + 100 = 200 стозначных чисел.