Question

Найдите значение cos(a-b), если sina+sinb= - корень2 и cosa+cosb= -1 .Заранее спасибо!​

Answer 1

(sinα+sinβ)²=sin²α+sin²β+2sinα*sinβ=2

(cosα+cosβ)²=cos²α+cos²β+2cosα*cosβ=1

(sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)²=3

sin²α+sin²β+2sinα*sinβ+cos²α+cos²β+2cosα*cosβ=3

2+2sinα*sinβ+2cosα*cosβ=3

2(sinα*sinβ+cosα*cosβ)=1⇒sinα*sinβ+cosα*cosβ=1/2

cos(α-β)=cosα*cosβ+sinα*sinβ=1/2

Answer 2

Для нахождения значения $\cos(a - b)$, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и данными уравнениями:

1. $\sin(a) + \sin(b) = -\sqrt{2}$
2. $\cos(a) + \cos(b) = -1$

Сначала давайте рассмотрим уравнение $\cos(a) + \cos(b) = -1$. У нас есть тождество:

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

Мы можем записать его как:

$\cos^2(a) + \sin^2(a) + \cos^2(b) + \sin^2(b) = 1 + 1$

$\cos^2(a) + \cos^2(b) = 2$

Теперь мы можем выразить $\cos(a)$ через $\cos(b)$ из уравнения $\cos(a) + \cos(b) = -1$:

$\cos(a) = -1 - \cos(b)$

Теперь подставим это значение в уравнение $\sin(a) + \sin(b) = -\sqrt{2}$:

$\sin(-1 - \cos(b)) + \sin(b) = -\sqrt{2}$

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами:

$\sin(-x) = -\sin(x)$

$-\sin(1 + \cos(b)) + \sin(b) = -\sqrt{2}$

Теперь выразим $\sin(1 + \cos(b))$:

$\sin(1 + \cos(b)) = \sin(b) - \sqrt{2}$

Теперь мы можем использовать тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ для нахождения $\cos^2(b)$:

$\cos^2(b) = 1 - \sin^2(b)$

Теперь мы можем подставить значение $\sin(1 + \cos(b))$:

$\cos^2(b) = 1 - (\sin(b) - \sqrt{2})^2$

Теперь мы можем выразить $\cos(b)$:

$\cos(b) = \pm \sqrt{1 - (\sin(b) - \sqrt{2})^2}$

Теперь мы имеем два возможных значения для $\cos(b)$. Далее, мы можем использовать одно из значений $\cos(b)$, чтобы найти соответствующее значение $\cos(a)$ из уравнения $\cos(a) = -1 - \cos(b)$. После этого можно будет вычислить $\cos(a - b)$ используя тригонометрическое тождество $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$.

Обратите внимание, что есть два возможных решения для $\cos(b)$, и это приведет к двум разным значениям для $\cos(a - b)$.