Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ! Решите в рациональных числах уравнение x^2+y^2+z^2+3x+3y+3z+5=0

Answer 1

Будем считать все переменные неотрицательными, но помнить, что если (x,y,z) - решение, то можно приписывать минусы к любой переменной, и тоже получать решение

Вынесем полные квадраты

$x^2+y^2+z^2+3x+3y+3z+5 = 0\\(x+1.5)^2+(y+1.5)^2+(z+1.5)^2 = 1.75$

Так как прибавление 1.5 не меняет рациональности, можно рассмотреть эквивалентную задачу в рациональных числах

$a^2+b^2+c^2 = 1.75$

Так как a,b,c - рациональные дроби, у них существует наименьший возможный общий знаменатель, обозначим его Q. После домножения на него уравнение примет вид

$A^2+B^2+C^2 = 7Q^2/4 = 7q^2$ (1)

Мы сразу видим, что Q четно, то есть Q=2q, а значит хотя бы одно из A,B или С нечетно, иначе Q - не наименьший возможный общий знаменатель.

Теперь отметим, что при делении на 8 квадрат целого числа дает в остатке либо 0 и 4 (если число четно), либо 1, если число нечетно.

Следовательно, возможные остатки при делении на 8 у левой части уравнения это 0, 4 и 7

Сумма трех квадратов может иметь такие остатки при делении на 8 только в следующих случаях (с учетом до перестановки)

0+0+0 -> 0, 0+0+4 -> 0, 0+4+4 -> 0, 4+4+4-> 4,

0+0+1 -> 1, 1+4+4 -> 1.

При этом остаток 7 не достигается. Первые 4 варианта не подходят, так как это означало бы что A,B,C все четны, значит остается такой вариант

Из трех A,B,C одно и только одно нечетно. Пусть это будет число C. Тогда

$7q^2 - C^2 = A^2+B^2 \mathrel{\vdots} 4$

Квадраты нечетных чисел при делении на 4 дают остаток 1, четных - 0. Значит левая часть имеет остаток при делении на 4 равный либо 2 (при нечетных q) либо 3 (при четных q). Получаем противоречие, из которого делаем окончательный вывод.

Исходное уравнение не имеет решений в рациональных числах

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

$x^2 + y^2 + z^2 + 3x + 3y + 3z + 5 = 0.$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 + 3x + ?) + (y^2 + 3y + ?) + (z^2 + 3z + ?) + 5 = 0.$

Теперь давайте добавим и вычтем константы в каждой из скобок так, чтобы полные квадраты стали видны:

$(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) + (y^2 + 3y + \frac{9}{4}) + (z^2 + 3z + \frac{9}{4}) + 5 - \frac{9}{4} - \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0.$

Теперь у нас есть сумма полных квадратов:

$(x + \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = 0.$

Таким образом, уравнение сводится к следующему виду:

$(x + \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z + \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}.$

Теперь у нас есть уравнение сферы в трехмерном пространстве. Он имеет радиус $r = \frac{3}{2}$ и центр в точке $(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$.