Question

Докажите 1+4+7+10+...+(3n-2)=n/2(3n-1)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдём сумму арифметической прогрессии: $\displaystyle S_n=1+4+7+10+13+...+(3n-2)=н(1+3n-2)*n=н(3n-1)*n=н(3n^2-n)=нn(3n-1)$

ч.т.д.

Answer 2

Давайте докажем данное равенство по математической индукции.

1. Базовый шаг: Для n = 1:

   Левая сторона: 1 = 1/2 * (3 * 1 - 1) = 1/2 * 2 = 1.

   Правая сторона: n/2 * (3n - 1) = 1/2 * (3 * 1 - 1) = 1/2 * 2 = 1.

   Обе стороны равны 1, что верно для n = 1.

2. Предположение индукции: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, то есть:

   1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) = k/2 * (3k - 1).

3. Шаг индукции: Докажем, что равенство верно и для k + 1. Добавим следующий член последовательности:

   1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) + (3(k+1) - 2)

   Теперь, используя предположение индукции, мы заменяем сумму для k:

   k/2 * (3k - 1) + (3(k+1) - 2)

   Упростим правую сторону:

   (k/2 * (3k - 1)) + (3(k+1) - 2) = k/2 * (3k - 1 + 6) + (3k + 3 - 2)

   (k/2 * (3k + 5)) + (3k + 1)

   Теперь мы можем факторизировать k/2 из первого слагаемого:

   (k/2) * (3k + 5 + 6) + (3k + 1)

   (k/2) * (3k + 11) + (3k + 1)

   Теперь распределим k/2 по обоим слагаемым:

   (k/2) * 3k + (k/2) * 11 + 3k + 1

   (3k^2/2) + (11k/2) + 3k + 1

   Теперь объединим все члены:

   (3k^2/2 + 11k/2 + 3k + 1)

   Теперь мы видим, что это равно:

   (k + 1)/2 * (3(k + 1) - 1)

   (k + 1)/2 * (3k + 3 - 1)

   (k + 1)/2 * (3k + 2)

   Таким образом, мы доказали, что если равенство верно для k, то оно верно и для k + 1. Таким образом, равенство верно для всех натуральных чисел n по принципу математической индукции.