Question

Помогите решить задачу. в школе учиться между 300 и 400 учащихся. разделяя учеников в школе или по 18, или по 20, или по 24 всегда каждый раз остаёться 9 учеников. сколько учеников в школе?

Answer 1

Пусть x- кол-во учеников в школе, тогда:

300<x<400

x=18a+9     |

x=20b+9    | вычтем 9

x=24c+9     |

x-9=18a

x-9=20b

x-9=24c

НОК(18;20;24)=360

х-9 кратно 360 ==> x-9=360d, а при 300<x<400, получается, что 0<d<2 (d- целое число), то есть, d=1. Тогда x-9=360*1; x-9=360; x=369.

Answer 2

Давайте обозначим количество учеников в школе за $x$. Мы знаем, что это число находится между 300 и 400.

Теперь давайте рассмотрим условия:

1. При делении на 18 остаётся 9 учеников: $x \equiv 9 \pmod{18}$

2. При делении на 20 остаётся 9 учеников: $x \equiv 9 \pmod{20}$

3. При делении на 24 остаётся 9 учеников: $x \equiv 9 \pmod{24}$

Таким образом, у нас есть система сравнений. Мы можем использовать китайскую теорему об остатках для нахождения решения:

$x \equiv 9 \pmod{\text{lcm}(18, 20, 24)}$

$x \equiv 9 \pmod{360}$

Теперь мы можем рассмотреть числа от 300 до 400, удовлетворяющие этому условию.

Посмотрим на числа, удовлетворяющие $x \equiv 9 \pmod{360}$ в интервале от 300 до 400:

$309, 669, 1029, 1389, 1749, 2109, 2469, 2829, 3189, 3549, 3909$

Так как учеников в школе не может быть больше 400, нас интересует первое число, которое удовлетворяет условиям:

$x = 309$

Таким образом, в школе 309 учеников.