Question

Найдите вероятность того, что при 10 бросках игровой кости 4 очка выпадет ровно два раза

Answer 1

При одном подбрасывании игровой кости вероятность выпадения 4 очков будет p = 1/6, тогда вероятность невыпадения 4 очков будет

q = 1 - p = 5/6.

Тогда при 10 подбрасываниях вероятность выпадения 4 очков ровно 2 раза будет по формуле Бернулли

P₁₀(2) = C₁₀²·p²·q¹⁰⁻² = C₁₀²·p²·q⁸,

C₁₀² = 10!/(2!·(10-2)!) = 10!/(2!·8!) = 9·10/2 = 9·5 = 45,

P₁₀(2) = 45·(1/6)²·(5/6)⁸ = 45·5⁸/6¹⁰= 9·5·5⁸/(3¹⁰·2¹⁰) = 3²·5⁹/(3¹⁰·2¹⁰) =

= 5⁹/(3⁸·2¹⁰) ≈ 0,291.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода (4 очка выпадет или не выпадет) при каждом броске, и вероятность успеха (выпадения 4 очков) остается постоянной.

Формула для биномиального распределения:

$P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

где:

• $n$ - количество испытаний (в данном случае 10 бросков)
• $k$ - количество успешных исходов (в данном случае 2 раза выпадет 4 очка)
• $p$ - вероятность успешного исхода в одном испытании (вероятность выпадения 4 очков)
• $C(n, k)$ - количество сочетаний из $n$ по $k$ (число способов выбрать $k$ элементов из $n$)

В данной задаче $p = \frac{1}{6}$, так как у нас есть 1 успешный исход (выпадение 4 очков) из 6 возможных (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Теперь мы можем вычислить вероятность:

$P(X = 2) = C(10, 2) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^8$

$P(X = 2) = \frac{10!}{2!8!} \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{3125}{46656}\right)$

$P(X = 2) \approx 0.2932$

Итак, вероятность того, что при 10 бросках игровой кости 4 очка выпадет ровно два раза, составляет около 29.32%.