Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения: y'-xy-x=0

Answer 1

Ответ:

$y=\pm C\sqrt{e^{x^{2}}}-1, C-const;$

Пошаговое объяснение:

$y'-xy-x=0;$

$\frac{dy}{dx}-x(y+1)=0;$

$\frac{dy}{dx}=x(y+1);$

$\frac{dy}{dx(y+1)}=x;$

$\frac{dy}{y+1}=xdx;$

$\int\limits {\frac{dy}{y+1}} \, =\int\limits {x} \, dx ;$

$\int\limits {\frac{d(y+1)}{y+1}} \, =\frac{x^{1+1}}{1+1}+C, C-const;$

$ln|y+1|=\frac{1}{2}x^{2}+C, C-const;$

$2ln|y+1|=x^{2}+2C, C-const;$

$ln((y+1)^{2})=x^{2}+2C, C-const;$

$e^{ln((y+1)^{2})}=e^{x^{2}+2C}, C-const;$

$(y+1)^{2}=e^{x^{2}+2C}, C-const;$

$y+1=\pm\sqrt{e^{x^{2}+2C}}, C-const;$

$y=\pm\sqrt{e^{x^{2}}*e^{2C}}}-1, C-const;$

$y=\pm\sqrt{e^{x^{2}}*(e^{C})^{2}}}-1, C-const;$

$y=\pm\sqrt{e^{x^{2}}*C^{2}}}-1, C-const;$

$y=\pm C\sqrt{e^{x^{2}}}-1, C-const;$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения y' - xy - x = 0 мы можем воспользоваться методом разделяющихся переменных. Сначала перепишем уравнение в виде:

y' = xy + x.

Теперь выделим x справа:

y' = x(y + 1).

Теперь давайте разделим переменные, переместив все, связанное с y, на одну сторону уравнения, а все, связанное с x, на другую сторону:

dy / (y + 1) = x dx.

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(1 / (y + 1)) dy = ∫x dx.

Интегрирование дает нам:

ln|y + 1| = (x^2) / 2 + C,

где C - произвольная постоянная интеграции. Теперь избавимся от натурального логарифма, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

|y + 1| = e^((x^2) / 2 + C).

Так как e^C является положительной константой, мы можем записать:

|y + 1| = Ce^(x^2 / 2),

где C > 0 (поскольку e^C всегда положительно). Теперь учтем абсолютное значение |y + 1|:

y + 1 = Ce^(x^2 / 2) или y + 1 = -Ce^(x^2 / 2).

Это даст два набора решений:

1. y = Ce^(x^2 / 2) - 1,
2. y = -Ce^(x^2 / 2) - 1.

Где C - произвольная постоянная, которая может принимать любое положительное значение. Эти два набора решений представляют общее решение исходного дифференциального уравнения.