Question

Написать уравнение движения точки,которая в каждый момент времени движения одинаково отдалена от точек А(3;-1), В(3;5).

Answer 1

Так как точки А и В находятся на одной вертикали (координаты по "х" у них одинаковы), то траектория движения точки проходит по перпендикуляру к середине отрезка АВ.

Это прямая у = (5 + (-1))/2 = 2.

С математической точки зрения (на координатной плоскости нет понятия времени и пути) точка в любой момент времени, находясь на прямой у = 2, равноудалена от точек А и В.

С физической точки зрения (в условии задания не оговорена скорость движения точки), если вектор скорости V направить по прямой у = 2, то уравнение движения точки будет: S = Vt + 3.

Здесь V в единицах по координатной оси Ох, а t(0) - начальный момент времени, когда точка находится между точками А и В.

Answer 2

Если точка движется таким образом, что она всегда находится на одинаковом расстоянии от точек A(3, -1) и B(3, 5), то это означает, что она движется по серединной перпендикулярной линии между точками A и B.

Серединный перпендикуляр к отрезку между точками A и B проходит через середину этого отрезка, что является точкой M((3+3)/2, (-1+5)/2) = (3, 2).

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B, можно представить в виде:

$y - 2 = \frac{5 - (-1)}{3 - 3} (x - 3).$

Так как точка движется по серединному перпендикуляру к этой прямой, угловой коэффициент равен $-\frac{1}{k}$, где $k$ - угловой коэффициент прямой. Таким образом,

$k = \frac{3 - (-3)}{5 - (-1)} = \frac{6}{6} = 1.$

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $-1$, и уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку M(3, 2), имеет вид:

$y - 2 = -1(x - 3).$

Преобразуем это уравнение:

$y - 2 = -x + 3,$ $y = -x + 5.$

Итак, уравнение движения точки, находящейся на одинаковом расстоянии от точек A(3, -1) и B(3, 5), представлено уравнением прямой $y = -x + 5$.