Question

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой

Answer 1

Ответ:

Пусть R1≠ R2.Тогда мы проводим перпендикуляр SOк плоскости "п" ,содержащей окружность w1 и w2 .Значит пересечение конуса с вершиной S и основанием w1 и прямого кругового цилиндра с основанием w2 является окружность,равная w2 и лежащая в плоскости "п1"||"п".Значит ортогональной проекцией на плоскость "п" пересечения конуса и плоскости ,равноудалённой от"п"и"п1",является окружность,проходящая через середины отрезков BD,DC и MN и касающаяся прямой ,вот мы и ответили на вопрос ,но может быть такое что R1=R2,тогда мы должны будем рассмотреть вместо конуса цилиндр с основанием w1

Answer 2

Давайте обозначим середины отрезков BD и DC как P и Q соответственно. Теперь нам нужно доказать, что окружность, проходящая через точки P, Q и M, касается прямой l.

Для начала давайте обратим внимание на следующие углы:

1. Угол BMD (угол между прямой l и отрезком BM) равен углу BAD (по построению, так как AM и AD являются биссектрисами угла BAC).
2. Угол DMC (угол между прямой l и отрезком DN) равен углу CAD (по построению, так как AN и AD являются биссектрисами угла CAD).

Теперь давайте рассмотрим треугольники BMD и CAD. У них есть два угла с равными мерами (BAD и BMD, а также CAD и DMC), и одна общая сторона (AD). По угловой теореме о равенстве треугольников (УТРТ) эти треугольники подобны.

Следовательно, соответствующие стороны BD и DC пропорциональны. То есть,

BD / DC = BM / DM.

Теперь мы знаем, что отношение BD к DC равно отношению BM к DM. Но это означает, что точки P, Q и M лежат на одной прямой (по теореме Талеса).

Итак, мы доказали, что точки P, Q и M лежат на одной прямой. Теперь докажем, что окружность, проходящая через эти точки, касается прямой l.

Для этого рассмотрим треугольник MPQ. Он равнобедренный, так как MP = MQ (середины сторон BD и DC) и углы при P и Q равны (по построению). Поэтому отрезок PQ является биссектрисой угла MPQ.

Теперь, поскольку угол MPQ равен углу MPB (угол между биссектрисой PQ и прямой l), а угол PBM (угол между PQ и BM) равен углу MPQ, мы имеем два вертикальных угла, и это означает, что угол MPB также равен углу MPQ.

Таким образом, угол MPB равен углу MPQ, и по теореме о касательных углах в окружности, окружность, проходящая через точки P, Q и M, касается прямой l.

Таким образом, мы доказали, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l.