Question

Найти площадь фигуры,ограниченной линиями:y=2x^2-4x+1,y=6-2x-x^2 и выразите её площадь с помощью интеграла.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=2x²-4x+1,    y=6-2x-x²

$\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$

прежде всего ричуем графики функций и определяем нужную оласть

определиться, какая функция у₁ а какая у₂ просто. та, чей график "выше" на нужном интервале интергирования, та и у₁

у нас это

y₁=6-2x-x²  и тогда другая функция будет y₂=2x²-4x+1

а подынтегальное выражение будет  у₁ - у₂ = -3x₂+2x+5

с пределами хуже. по графикам точно не определить...

придется искать аналитически точки пересечения графиков функций

2x² -4x +1 = -x² -2x + 6  ⇒  3x²-2x -5= 0   ⇒ x₁ = -1   x₂ = 10/6

теперь есть всё необходимое, считаем интеграл

$S =\int\limits^{10/6}_{-1} {( -3x^2+2x+5)} \, dx =-3\int\limits^{10/6}_{-1} {(x^2)} \, dx+2\int\limits^{10/6}_{-1} {(x)} \, dx+5\int\limits^{10/6}_{-1} {} \, dx=$

$=-3\frac{x^3}{3} I_{-1}^{5/3}+\frac{2x^2}{2} I_{-1}^{5/3}+5x I_{-1}^{5/3}=-\frac{152}{27} +\frac{16}{9} +\frac{40}{3} =\frac{256}{27} =9\frac{13}{27}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, вы можете использовать определенный интеграл. Площадь фигуры между кривыми $y = 2x^2 - 4x + 1$ и $y = 6 - 2x - x^2$ можно найти следующим образом:

1. Сначала найдем точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования. Решим уравнение $2x^2 - 4x + 1 = 6 - 2x - x^2$:

$2x^2 - 4x + 1 - 6 + 2x + x^2 = 0$

Упростим его:

$3x^2 - 4x - 5 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с помощью формулы дискриминанта:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае $a = 3$, $b = -4$, и $c = -5$. Подставим значения:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{6}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{6}$

Теперь найдем два значения $x$:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{76}}{6}$ $x_2 = \frac{4 - \sqrt{76}}{6}$

2. Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем найти площадь между кривыми с использованием определенного интеграла. Площадь между кривыми можно найти как разность интегралов:

$S = \int_{x_2}^{x_1} [(2x^2 - 4x + 1) - (6 - 2x - x^2)] dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_{(4 - \sqrt{76})/6}^{(4 + \sqrt{76})/6} (3x^2 - 2x - 5) dx$

Теперь производим интегрирование:

$S = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 - 5x\right]_{(4 - \sqrt{76})/6}^{(4 + \sqrt{76})/6}$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left[\frac{(4 + \sqrt{76})^3}{3 \cdot 6^3} - \frac{(4 + \sqrt{76})^2}{6^2} - \frac{5(4 + \sqrt{76})}{6}\right] - \left[\frac{(4 - \sqrt{76})^3}{3 \cdot 6^3} - \frac{(4 - \sqrt{76})^2}{6^2} - \frac{5(4 - \sqrt{76})}{6}\right]$