Question

Правильно выберите u и dv в интеграле х^2 ln x dx

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для интегрирования функции $x^2 \ln(x)$ методом интегрирования по частям, мы должны выбрать две функции $u$ и $dv$ так, чтобы можно было применить формулу интегрирования по частям:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

В данном случае, умножим $x^2$ на $\ln(x)$, чтобы выбрать $u$ и $dv$:

$u = \ln(x)$ и $dv = x^2 \, dx$

Теперь найдем производные и интегралы этих функций:

$du = \frac{1}{x} \, dx$

$v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$$\int x^2 \ln(x) \, dx = uv - \int v \, du$$

$$= \ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

$$= \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$$

Теперь мы можем интегрировать последний интеграл:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

И подставить его обратно:

$$\frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C$$

Где $C$ - постоянная интеграции. Таким образом, окончательный ответ:

$$\frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{9}x^3 + C$$