Question

Найдите наименьшее значение функции y=*(x-5)-6 на отрезке [-1;8]. Пожалуйста, распишите подробно решение. Верный ответ: -38

Answer 1

$y'=((x+1)^2\cdot (x-5)-6)'=((x+1)^2\cdot (x-5))'-(6)'=\\\\=((x+1)^2)'\cdot(x-5)+(x+1)^2\cdot(x-5)'-0=\\\\=2\cdot (x+1)\cdot (x+1)'\cdot (x-5)+(x+1)^2\cdot 1=2\cdot(x+1)\cdot 1\cdot (x-5)+(x+1)^2=\\\\ =(x+1)\cdot(2\cdot (x-5)+(x+1))=(x+1)\cdot(2x-10+x+1)=(x+1)\cdot (3x-9)=\\ \\ =3\cdot (x+1)\cdot (x-3) \\ \\ y'=0 \\ \\ 3\cdot (x+1)\cdot (x-3)=0 \\ \\ x+1=0; \ \ \ \ \ x-3=0 \\\\ x=-1; \ \ \ \ \ \ \ \ x=3 \\ \\ y(-1)=(-1+1)^2\cdot (-1-5)-6=0-6=-6 \\ \\ y(3)=(3+1)^2\cdot (3-5)-6=16\cdot (-2)-6=-32-6=-38$

$y(8)=(8+1)^2\cdot(8-5)-6=81\cdot 3-3=243-6=237$

Наименьшее значение функции на отрезке [-1;8] достигается в точке x=3 и равно -38

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = (x - 5)^2 - 6 на заданном отрезке [-1; 8], мы можем воспользоваться методом нахождения экстремумов функции. Для начала найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых может находиться минимум:

y = (x - 5)^2 - 6

Для нахождения производной y по x используем правило цепочки:

y' = 2(x - 5) * 1 - 0 y' = 2(x - 5)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2(x - 5) = 0

Решение:

x - 5 = 0 x = 5

Теперь у нас есть одна критическая точка x = 5, которая может быть точкой минимума на отрезке [-1; 8]. Чтобы убедиться, что это точка минимума, мы должны проанализировать ее окрестность.

Для этого найдем вторую производную и определим ее знак в окрестности точки x = 5:

y'' = 2

Значение второй производной положительное (2 > 0), что означает, что у нас есть локальный минимум в точке x = 5.

Теперь нам нужно проверить значение функции в точках концов заданного отрезка [-1; 8] и в точке x = 5:

1. Для x = -1: y(-1) = (-1 - 5)^2 - 6 = (-6)^2 - 6 = 36 - 6 = 30

2. Для x = 8: y(8) = (8 - 5)^2 - 6 = (3)^2 - 6 = 9 - 6 = 3

3. Для x = 5: y(5) = (5 - 5)^2 - 6 = 0 - 6 = -6

Таким образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке [-1; 8] равно -6 и достигается в точке x = 5.

Итак, верный ответ: -6. Но, возможно, была допущена ошибка в ответе, так как наименьшее значение функции действительно равно -6, а не -38.