Question

Найти неопределенный интеграл (5x^-3+5x^2+4x+6)dx​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

Answer 2

Чтобы найти неопределенный интеграл функции $5x^{-3} + 5x^2 + 4x + 6$, давайте проинтегрируем каждый член по отдельности.

Интеграл от $5x^{-3}$ будет равен:

$$\int 5x^{-3} \, dx = 5 \int x^{-3} \, dx$$

Теперь используем правило степенного интеграла:

$$\int x^{-n} \, dx = \frac{{x^{-n+1}}}{{-n+1}} + C$$

В нашем случае $n = 3$, поэтому:

$$5 \int x^{-3} \, dx = 5 \cdot \frac{{x^{-3+1}}}{{-3+1}} + C = -\frac{5}{2x^2} + C_1$$

Теперь интегрируем $5x^2$:

$$\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx$$

Используем степенной интеграл для этого:

$$\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C$$

В нашем случае $n = 2$:

$$5 \int x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{{x^{2+1}}}{{2+1}} + C = \frac{5}{3}x^3 + C_2$$

Теперь интегрируем $4x$:

$$\int 4x \, dx = 4 \int x \, dx$$

Интеграл от $x$ равен:

$$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C$$

Так что

$$4 \int x \, dx = 4 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) + C = 2x^2 + C_3$$

Наконец, интеграл от константы $6$ будет равен просто $6x + C_4$.

Теперь объединим все части вместе, чтобы найти неопределенный интеграл исходной функции:

$$\int (5x^{-3} + 5x^2 + 4x + 6) \, dx = -\frac{5}{2x^2} + \frac{5}{3}x^3 + 2x^2 + 6x + C$$

Где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.