Question

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння: y"+8y'+16y=0, якщо х=0, то у=1 та у'=1

Answer 1

Ответ:

$y'' + 8y' + 16y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 8 k + 16) = 0 \\ {(k + 4)}^{2} = 0 \\ k_1 = k_2 = - 4 \\ y = C_1 {e}^{-4x} + C_2 {e}^{-4x} x$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 1$

$y '= -4C_1 {e}^{-4x} -4C_2 {e}^{-4x} x +C_2 {e}^{-4x}$

$1 = C_1 \\ 1 = -4C_1 + C_2 \\ \\ C_1 = 1\\ C_2 = 1 +4C_1 = 5$

$y = {e}^{-4x} +5x {e}^{-4x}$

частное решение

Answer 2

Для знаходження частинного розв'язку диференціального рівняння другого порядку y'' + 8y' + 16y = 0, спростимо спочатку характеристичне рівняння, яке визначає його фундаментальні розв'язки. Характеристичне рівняння має вигляд:

r^2 + 8r + 16 = 0.

Щоб знайти корені цього рівняння, можемо спростити його:

(r + 4)^2 = 0.

Звідси отримуємо два однакові корені r = -4. Таким чином, фундаментальні розв'язки мають вигляд:

y1(x) = e^(-4x) і y2(x) = x * e^(-4x).

За допомогою принципу суперпозиції ми можемо знайти частинний розв'язок, використовуючи вхідні умови, які задані при x = 0:

y(0) = 1 і y'(0) = 1.

Скористаємося цими умовами для знаходження констант у загальному розв'язку:

y(x) = C1 * y1(x) + C2 * y2(x).

Знаємо, що y(0) = 1 і y'(0) = 1:

1 = C1 * e^(-4 * 0) + C2 * 0 * e^(-4 * 0) = C1,

1 = C1.

Тепер маємо значення C1, і наш частинний розв'язок має вигляд:

y(x) = e^(-4x).

Отже, частинний розв'язок даного диференціального рівняння з заданими умовами виглядає так:

y(x) = e^(-4x).