Question

Найди экстремумы функции f(x)=8x3+9x2+3x+2.

Answer 1

Дана функция f(x) = 8x^3+9x^2+3x+2.

Её производная равна y' = 24x^2 + 18x + 3 = 3(8x^2 + 6x + 1).

Приравняем её нулю (достаточно выражение в скобках):

8x^2 + 6x + 1 = 0,   Д = 36 - 4*8*1 = 4,

х1 = (-6 - 2)/(2*8) = -1/2,

х2 = (-6 + 2)/(2*8) = -1/4.

Найдены 2 критические точки.

Определяем их свойства по знаку производной левее и правее этих точек.

x =   -0,6       -0,5      -0,4       -0,25       -0,2

y' = 0,84          0       -0,36         0           0,36.

Как  видим, максимум в точке х = -0,5, а минимум в точке х = -0,25.

Значения функции в критических точках:

y(min) = 27/16  при  x = -1/4,

y(max) = 7/4  при    x = -1/2.

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = 8x^3 + 9x^2 + 3x + 2$, нужно взять производную функции и приравнять её к нулю. Это позволит найти точки, где производная (и, следовательно, наклон кривой) равна нулю.

Давай это сделаем. Сначала найдем производную:

$f'(x) = 24x^2 + 18x + 3$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$24x^2 + 18x + 3 = 0$

Это уравнение квадратное, и мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 24$, $b = 18$, $c = 3$. Рассчитаем:

$x = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 24 \cdot 3}}{2 \cdot 24}$

$x = \frac{-18 \pm \sqrt{324 - 288}}{48}$

$x = \frac{-18 \pm \sqrt{36}}{48}$

$x = \frac{-18 \pm 6}{48}$

Таким образом, у нас два корня:

1. $x_1 = \frac{-18 + 6}{48} = \frac{-12}{48} = -\frac{1}{4}$
2. $x_2 = \frac{-18 - 6}{48} = \frac{-24}{48} = -\frac{1}{2}$

Теперь мы можем подставить эти значения $x$ обратно в исходную функцию $f(x)$, чтобы найти соответствующие значения $y$.

$f\left(-\frac{1}{4}\right) = 8\left(-\frac{1}{4}\right)^3 + 9\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{4}\right) + 2$

$f\left(-\frac{1}{2}\right) = 8\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 2$

Таким образом, точки $\left(-\frac{1}{4}, f\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$ и $\left(-\frac{1}{2}, f\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ являются точками экстремума для функции $f(x)$.