Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функциии f(x)=cosx+1/3cos3x на отрезке от 0 до П

Answer 1

Ответ:

$\max f(x \in[0;\;\pi] ) = f(0) = \frac{4}{3} \\ \min f(x \in[0;\;\pi] ) = f(\pi) = - \frac{4}{3}$

Пошаговое объяснение:

$f(x) = \cos{x} + \frac{1}{3} \cos(3x) \\ \max f(x \in[0;\;\pi] )$

Функция непрерывна и определена на R, а следовательно и на всем заданном отрезке.

Максимальное значение f(x) на отрезке может быть:

- на концах заданного отрезка

- в точках экстремума функции.

Т.е. следует проверить значения функции в точках

1) где f'(x)=0

2) х = 0; х = П

1) Найдем производную f'(x)

$f'(x) = \big(\cos{x} + \frac{1}{3} \cdot\cos(3x)\big)'= \\ = (\cos{x})' + \frac{1}{3} \cdot\big(\cos(3x)\big)'= \\ = - \sin{x }+ \frac{1}{3} \cdot\big( - \sin(3x)\cdot(3x)' \big) = \\ { = } {-} \sin{x }{ - } \frac{1}{3} \cdot 3\sin(3x) = - \sin{x }{ - }\sin{3x }$

Найдем нули производной:

$f'(x)=0 - \sin{x } - \sin{3x } =0 \\ \sin{3x } + \sin{x } =0 < = > \\ < = >$

Применим формулу

$\sin \alpha + \sin \beta = 2\cdot \sin \frac{ \alpha + \beta }{2}\cdot\cos \frac{ \alpha - \beta }{2}$

$> 2\sin2x \cos{x} = 0 < = >$

$\Big[ \: \Large{^{}_{}} ^{\sin2x = 0}_{\cos{x} = 0} = > \Big[ \: \Large{^{}_{}} ^{2x = \pi\cdot{n}}_{{x} = \frac{\pi}{2} +\pi\cdot{n} } = > \\ = > \Big[ \: \Large{^{}_{}} ^{x = \frac{\pi}{2} \cdot{n}}_{{x} = \frac{\pi}{2} +\pi\cdot{n} } = > \small{x = \frac{\pi}{2} \cdot{n};\: \: n \in Z}$

При

$x \in[0;\;\pi] \\0 \leqslant x = \frac{\pi}{2} \cdot{n} \leqslant \pi \\ 0 \leqslant \frac{n}{2} \leqslant 1 \\ 0 \leqslant {n} \leqslant 2 = > n \in \: \{0;\;1;\;2 \} \\ x = \{0;\; \frac{\pi}{2} ;\;\pi\}$

Проверим точки: (кстати, концы отрезка также входят в точки экстремума функции)

$f(0) =\cos{0} + \frac{1}{3} \cos(3 \cdot0) = \\ = 1 + \frac{1}{3} \cdot1 = \frac{4}{3} \\ f( \frac{\pi}{2}) = \cos{ \frac{\pi}{2} } + \frac{1}{3} \cos( \frac{3\pi}{2} ) = \\ = 0 + \frac{1}{3} \cdot( - 1) = - \frac{1}{3} \\ f(\pi) = \cos{\pi} + \frac{1}{3} \cos(3 \pi) = \\ = - 1 - \frac{1}{3} = - \frac{4}{3}$

Мы видим, что максимальное и минимальное значение функции достигается в точках:

$\max f(x \in[0;\;\pi] ) = f(0) = \frac{4}{3} \\ \min f(x \in[0;\;\pi] ) = f(\pi) = - \frac{4}{3}$

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $f(x) = \cos(x) + \frac{1}{3}\cos(3x)$ на отрезке от $0$ до $\pi$, мы можем начать с поиска её экстремумов на этом отрезке. Экстремумы функции происходят там, где её производная равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = -\sin(x) - \sin(3x)$

Теперь найдем точки, где $f'(x)$ равна нулю:

$-\sin(x) - \sin(3x) = 0$

Чтобы решить это уравнение, давайте применим тригонометрическую идентичность $\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$:

$-\sin(x) - (3\sin(x) - 4\sin^3(x)) = 0$

Решая это уравнение, мы получим:

$-\sin(x) - 3\sin(x) + 4\sin^3(x) = 0$

$-4\sin(x)(1 - \sin^2(x)) = 0$

Таким образом, мы имеем два возможных решения: $\sin(x) = 0$ и $\sin(x) = 1$.

1. Для $\sin(x) = 0$ решением будет $x = 0$ (поскольку мы рассматриваем отрезок от $0$ до $\pi$).

2. Для $\sin(x) = 1$ решения на отрезке от $0$ до $\pi$ нет, так как максимальное значение синуса равно $1$, и оно достигается при $x = \frac{\pi}{2}$, что не удовлетворяет условию отрезка.

Теперь найдем значения функции $f(x)$ в точках $x = 0$ и $x = \pi$, а также в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

1. $f(0) = \cos(0) + \frac{1}{3}\cos(0) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
2. $f(\pi) = \cos(\pi) + \frac{1}{3}\cos(3\pi) = -1 + \frac{1}{3}(-1) = -\frac{4}{3}$
3. $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{3}\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 + \frac{1}{3}(0) = 0$

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, \pi]$ равно $-\frac{4}{3}$, а наибольшее значение равно $\frac{4}{3}$.