Question

Найдите действительные корни уравнения x^6-21x^4+6x^3+105x^2-125=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x^6 - 21x^4 + 6x^3 + 105x^2 - 125 = 0

Запишем это уравнение со всеми степенями x:

x^6 + 0x^5 - 21x^4 + 6x^3 + 105x^2 + 0x - 125 = 0

Нарисуем схему Горнера.

x | 1 | 0 | -21 | 6 | 105 | 0 | -125

=========================

-5| 1 | -5| 4 | -14 | 175|-875|4000+ > 0

-4| 1 | -4| -5 | 26| 1 _| -4 | -109 < 0

-3| 1 | -3| -12| 42|-21 | 63| -314 < 0

-2| 1| -2| -17 | 40| 25 |-50| -25 < 0

-1| 1 |-1 | -20 | 26| 79|-79 | -46 < 0

1 | 1 | 1 | -20 | -14| 91 | 91 | -34 < 0

2| 1 | 2 | -17 | -28| 49| 98 | 71 > 0

Как видим, это уравнение имеет два иррациональных корня:

x1 ∈ (-5; -4); x2 ∈ (1; 2)

Это отрезки, на которых последнее значение меняет знак.

Уточняем эти корни. Обозначим f(x) левую часть уравнения.

f(x) = x^6 - 21x^4 + 6x^3 + 105x^2 - 125

1) f(-4,2) = (-4,2)^6 - 21(-4,2)^4 + 6(-4,2)^3 + 105(-4,2)^2 - 125 ≈ 237 > 0

f(-4,1) = (-4,1)^6 - 21(-4,1)^4 + 6(-4,1)^3 + 105(-4,1)^2 - 125 ≈ 42,5 > 0

f(-4,08) = (-4,08)^6 - 21(-4,08)^4 + 6(-4,08)^3 + 105(-4,08)^2 - 125 ≈ 9 > 0

f(-4,07) = (-4,07)^6 - 21(-4,07)^4 + 6(-4,07)^3 + 105(-4,07)^2 - 125 ≈ -7 < 0

f(-4,075) = (-4,075)^6 - 21(-4,075)^4 + 6(-4,075)^3 + 105(-4,075)^2 - 125 ≈ 0,8

x1 ≈ -4,075

2) f(1,2) = (1,2)^6 - 21(1,2)^4 + 6(1,2)^3 + 105(1,2)^2 - 125 ≈ -4 < 0

f(1,3) = (1,3)^6 - 21(1,3)^4 + 6(1,3)^3 + 105(1,3)^2 - 125 ≈ 10 > 0

f(1,23) = (1,23)^6 - 21(1,23)^4 + 6(1,23)^3 + 105(1,23)^2 - 125 ≈ 0,42

f(1,227) = (1,227)^6 - 21(1,227)^4 + 6(1,227)^3 + 105(1,227)^2 - 125 ≈ -0,02

x2 ≈ 1,227

Answer 2

Для нахождения действительных корней уравнения $x^6 - 21x^4 + 6x^3 + 105x^2 - 125 = 0$, мы можем воспользоваться методом проб и ошибок или численными методами. Однако, так как это уравнение высокой степени, нет очевидных аналитических способов его решения.

Воспользуемся численным методом, например, методом бисекции, чтобы найти приближенные действительные корни. Метод бисекции требует выбора начальных интервалов, в которых мы ищем корни. Мы можем начать с интервалов [-10, 0] и [0, 10], так как уравнение симметрично относительно оси y.

1. Начнем с интервала [-10, 0]:

   a. Найдем значение функции $f(x)$ на концах интервала: $f(-10) = -25325$ и $f(0) = -125$. b. Поскольку функция $f(x)$ меняет знак между -10 и 0, то согласно теореме о промежуточных значениях, на этом интервале есть корень. Применим метод бисекции, чтобы найти его:

   • Средняя точка интервала: $x_1 = \frac{-10 + 0}{2} = -5$.
   • Значение функции в средней точке: $f(-5) = 2625$.

   c. Теперь выберем новый интервал на основе знаков функции: [-10, -5]. d. Повторим процесс до достижения достаточной точности. Продолжаем делить интервал пополам и выбирать интервал с корнем.

2. Теперь начнем с интервала [0, 10]:

   a. Найдем значение функции $f(x)$ на концах интервала: $f(0) = -125$ и $f(10) = 101375$. b. Здесь также функция меняет знак между 0 и 10, поэтому снова применим метод бисекции:

   • Средняя точка интервала: $x_2 = \frac{0 + 10}{2} = 5$.
   • Значение функции в средней точке: $f(5) = 2625$.

   c. Выберем новый интервал на основе знаков функции: [0, 5].

Повторяйте этот процесс до тех пор, пока не достигнете нужной точности. Метод бисекции гарантированно приближает вас к действительным корням уравнения.