Question

Дана касательная 3x+y-4=0 окружности, центр которой находится в точке (3;2). Напишите уравнение данной окружности.

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Чтобы найти уравнение окружности, зная уравнение касательной и координаты её центра, нужно воспользоваться следующими свойствами:

1. Уравнение касательной к окружности в точке касания имеет вид: $Ax + By + C = 0$ где (A, B) - нормальный вектор касательной, который является перпендикулярным радиусу окружности в точке касания.

2. Если центр окружности находится в точке (h, k), то уравнение окружности имеет вид: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Сначала найдем нормальный вектор (A, B) касательной. Касательная дана уравнением $3x + y - 4 = 0$, что можно переписать в стандартной форме:

$y = -3x + 4$

Теперь видно, что A = -3 и B = 1.

Затем, используя координаты центра окружности (h, k) = (3, 2) и найденный нормальный вектор (A, B), мы можем записать уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = r^2$

Теперь осталось найти радиус (r). Радиус можно найти, используя расстояние от центра окружности до точки касания касательной. Расстояние между точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле:

$r = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}$

В данном случае, точка касания касательной (x1, y1) является решением системы уравнений касательной и уравнения окружности:

$$\begin{align*} 3x + y - 4 &= 0 \\ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 &= r^2 \end{align*}$$

Решая эту систему, найдем значения x и y точки касания. Затем можно использовать эти значения, чтобы найти радиус r.