Question

Один сплав состоит из двух металлов, массы которых относятся как 2:1, а второй содержит те же металлы, но их массы относятся как 3:4. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, которых массы тех же металлов относились бы, как 5:8?

Answer 1

ответ: из первого сплава 7 частей, а из второго сплава 6 частей

Пошаговое объяснение:

пусть для 3 сплава из первого сплава взяли х частей , а из второго сплава у частей

рассмотрим 1 сплав 1:2

1+2= 3 сплав состоит из трех частей,

1/3 часть которого составляет 1 вид металла ,

а 2/3 часть составляет 2 вид металла

значит для 3 сплава из 1 го сплава взяли

1/3х частей 1 -го вида металла и 2/3х частей 2-го вида металла

рассмотрим 2 сплав 3:4

3+4=7 сплав состоит из семи частей,

3/7 часть которого составляет 1 вид металла ,

а 4/7 часть составляет 2 вид металла

значит для 3 сплава из 2 сплава взяли

3/7у частей 1-го вида металла и 2/3у частей 2-го вида металла

рассмотрим 3 сплав

1 вида металла в сплаве 1/3х+ 3/7у

2 вида металла в сплаве 2/3х+ 4/7у

по условию соотношение металлов в 3 славе 5/8

значит

$\frac{ \frac{1}{3x} + \frac{3}{7y} }{ \frac{2}{3x} + \frac{4}{7y} } = \frac{5}{8} \\ 5 \times ( \frac{2}{3x} + \frac{4}{7y} ) = 8 \times ( \frac{1}{3x} + \frac{3}{7y} ) \\ \frac{10}{3x} + \frac{20}{7y} = \frac{8}{3x} + \frac{24}{7y} \\ \frac{10 - 8}{3x} = \frac{24 - 20}{7y} \\ \frac{2}{3x} = \frac{4}{7y} \\ 12x = 14y \\ 6x = 7y \\ \frac{x}{y} = \frac{7}{6}$

это означает что из первого сплава надо взять 7 частей , а из второго сплава 6 частей

Answer 2

Пусть первый сплав содержит металлы A и B, а их массы относятся как 2:1. Пусть второй сплав также содержит металлы A и B, и их массы относятся как 3:4. Мы хотим найти пропорции, при которых массы металлов A и B будут относиться как 5:8 в третьем сплаве.

Предположим, что мы возьмем x частей первого сплава и y частей второго сплава, чтобы получить третий сплав.

Масса металла A в третьем сплаве будет: $2x + \frac{3}{7}y$, где $\frac{2}{3}$ - это пропорция массы металла A в первом сплаве, а $\frac{3}{7}$ - во втором сплаве.

Масса металла B в третьем сплаве будет: $x + \frac{4}{7}y$, где $\frac{1}{3}$ - это пропорция массы металла B в первом сплаве, а $\frac{4}{7}$ - во втором сплаве.

Мы хотим, чтобы эти массы относились как 5:8, таким образом:

$$\frac{2x + \frac{3}{7}y}{x + \frac{4}{7}y} = \frac{5}{8}$$

Умножим обе стороны на $8x + 3y$ (чтобы избавиться от дробей):

$$8(2x) + 8\left(\frac{3}{7}\right)y = 5\left(x + \frac{4}{7}y\right)$$

Раскроем скобки:

$$16x + \frac{24}{7}y = 5x + \frac{20}{7}y$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$16x - 5x = \frac{20}{7}y - \frac{24}{7}y$$

$$11x = -\frac{4}{7}y$$

Теперь мы знаем соотношение между x и y:

$$x = -\frac{4}{77}y \quad \text{(1)}$$

Также нам известно, что массы металлов в третьем сплаве относятся как 5:8, поэтому:

$$\frac{2x + \frac{3}{7}y}{x + \frac{4}{7}y} = \frac{5}{8}$$

Подставим значение x из уравнения (1):

$$\frac{2\left(-\frac{4}{77}y\right) + \frac{3}{7}y}{-\frac{4}{77}y + \frac{4}{7}y} = \frac{5}{8}$$

Упростим:

$$\frac{-\frac{8}{77}y + \frac{3}{7}y}{\frac{3}{7}y + \frac{28}{77}y} = \frac{5}{8}$$

$$\frac{\frac{3}{7}y}{\frac{37}{77}y} = \frac{5}{8}$$

Теперь решим это уравнение относительно y:

$$\frac{3}{7}y \times \frac{77}{37}y = \frac{5}{8}$$

$$\frac{231}{259}y^2 = \frac{5}{8}$$

Умножим обе стороны на $\frac{8}{5}$ (чтобы избавиться от дроби):

$$y^2 = \frac{231}{259} \times \frac{8}{5}$$