Question

Пусть `a, b, c` – различные положительные целые числа такие, что `b+c-a, c+a-b, a+b-c` – все полные квадраты. Какое наибольшее возможное значение может принимать `a+b+c`, если оно меньше 100?

Answer 1

Ответ:

91, при:

a = 45

b = 41

c =5

Пошаговое объяснение:

По условию:

b+c-a = z^2

c+a-b = y^2

a+b-c  = x^2

a>b>c

x,y,z- натуральные числа.

x>y>z

Откуда:

x^2 + y^2 + z^2 = (b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c) = a+b+c

При этом сумма любых двух из чисел x,y,z - четна:

(b+c-a) + (a+b-c) = 2b и тд.

Это возможно только когда все числа x,y,z одновременно являются четными или нечетными.

Предположим, что x,y,z - четны:

Тогда, если x<8, то

(x^2 + y^2 + z^2)max = 6^2 + 4^2 + 2^2 = 56 < 8^2  + 2^2 + 4^2 = 84 < 100

Но тогда, максимум будет достигнут при x = 8, ибо следующее число 10^2 = 100

8^2 + y^2 + z^2 < 100

Пусть y = 6, но тогда 8^2 + 6^2 + z^2 >100 , не подходит

Тогда:

y = 4

z = 2

max(x^2+y^2+z^2) = 8^2 + 4^2 + 2^2 = 64 + 16 + 4 = 84

Предположим, что x,y,z - нечетны.

Тогда, если x<9

max(x^2+y^2+z^2) = 7^2 + 5^2 + 3^2 = 83 < 9^2 + 1^2 + 3^2 = 91

Тогда максимум достигается при a = 9, ибо 11^2 > 100.

9^2 + y^2 + z^2 <100

Пусть y>=5, но тогда 9^2 + y^2 + z^2 >= 9^2 + 5^2 >100

Тогда:

max(x^2+y^2 + z^2) = 9^2 + 3^2 + 1^2 = 91

91 >84

Тогда для произвольных по четности x,y,z:

max(a+b+c) = max(x^2 + y^2 + z^2) = 91

a = (9^2 + 3^2)/2 = 45

b = (9^2 + 1^2)/2 = 41

c = (3^2+1^2)/2 = 5

Answer 2

Давайте рассмотрим условия:

1. $b + c - a = x^2$
2. $c + a - b = y^2$
3. $a + b - c = z^2$

где $x, y, z$ - некоторые положительные целые числа.

Сложим все три уравнения:

$2a = x^2 + y^2 + z^2$.

Это означает, что $a$ - тоже полный квадрат. Поскольку $a, b$ и $c$ - различные положительные целые числа, наибольшее значение $a$ может быть 49 ($7^2$), так как если $a$ больше 49, то сумма $x^2 + y^2 + z^2$ также превысит 98.

Теперь найдем максимальное значение $b$ и $c$ при условии, что $b + c - a = x^2$. Поскольку $a$ может быть 49, максимальное значение $b + c$ будет $49 + x^2$.

Максимальное значение $b + c$ равно 98 ($7^2$), когда $x^2 = 49$, тогда $b + c = 98 - a$.

Таким образом, максимальное значение $a + b + c$ будет $a + (98 - a) = 98$. Поэтому наибольшее возможное значение $a + b + c$, которое меньше 100 и удовлетворяет условиям, равно 98.