Question

Пусть a, b, c различные положительные целые числа такие, Что b+c — a, c+a — b, a+b — с- все полные квадраты. Какое наибольшее возможное значение может принимать a+b+c, если оно меньше 100?

Answer 1

Раз $a,b,c$ попарно различны, то различны и полные квадраты. В самом деле, если $b+c-a=c+a-b \Leftrightarrow a=b$, противоречие.

Теперь заметим, что $100>a+b+c=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=x^2+y^2+z^2$. Значит, $x^2+y^2+z^2\leq 99$. Разница любых двух данных в условии квадратов четна, что говорит об одинаковой четности всех квадратов.

Пусть $x$ — максимальное число, причем нечетное. Тогда если $x\leq 7$, то $x^2+y^2+z^2\leq 7^2+5^2+3^2 = 83$. Если $x=9$, то $x^2+y^2+z^2\leq 9^2+3^2+1^2 = 91$.

Рассматривая случай четного $x$, приходим к неравенствам $x^2+y^2+z^2\leq 8^2+4^2+2^2=84$ (соотв. $x=8$) и $x^2+y^2+z^2\leq 6^2+4^2+2^2=56$ (соотв. $x=6$). Итак, максимальное значение суммы трех квадратов равно 91. Соответствующая им тройка $(a,b,c) = (45,41,5)$.

Answer 2

Давайте рассмотрим условие: b + c - a, c + a - b и a + b - c - это полные квадраты. Для упрощения обозначим их как p^2, q^2 и r^2, где p, q и r - некоторые положительные целые числа.

Теперь мы можем записать систему уравнений:

1. b + c - a = p^2
2. c + a - b = q^2
3. a + b - c = r^2

Мы можем сложить все три уравнения:

(b + c - a) + (c + a - b) + (a + b - c) = p^2 + q^2 + r^2

Складывая левые части и правые части уравнения, получаем:

2(a + b + c) = p^2 + q^2 + r^2

Теперь, чтобы найти максимальное значение a + b + c, нужно найти максимальное значение p^2 + q^2 + r^2.

Максимальное значение p^2 + q^2 + r^2 будет достигаться, когда каждое из чисел p, q и r максимально. Давайте предположим, что p = q = r = 1.

В этом случае:

2(a + b + c) = 1^2 + 1^2 + 1^2 2(a + b + c) = 3 a + b + c = 3/2

Теперь мы видим, что наибольшее возможное значение a + b + c при данных условиях - 3/2, что меньше 100. Таким образом, наибольшее возможное значение a + b + c, меньшее 100, равно 3.

Answer 3

Давайте рассмотрим условия задачи:

1. b + c - a - полный квадрат.
2. c + a - b - полный квадрат.
3. a + b - c - полный квадрат.

Давайте обозначим эти полные квадраты как x^2, y^2 и z^2 соответственно, где x, y и z - некоторые положительные целые числа.

Теперь давайте сложим все три уравнения:

x^2 + y^2 + z^2 = (b + c - a) + (c + a - b) + (a + b - c) x^2 + y^2 + z^2 = 2(a + b + c)

Мы видим, что 2(a + b + c) также является полным квадратом. Поскольку x, y и z являются положительными целыми числами, a + b + c должно быть четным полным квадратом. Теперь нам нужно найти наибольший возможный четный полный квадрат, который меньше 100.

Наибольший полный квадрат, который меньше 100, - это 81 (9^2). Поэтому наибольшее значение a + b + c, удовлетворяющее условиям задачи и меньшее 100, равно 2 * 81 = 162.

Таким образом, наибольшее возможное значение a + b + c равно 162.