Question

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку. Пожалуйста, если вы нашли ответ в интернете, распишите его подробно, потому что я не понял, спасибо

Answer 1

Рассмотрим произвольный набор целых неотрицательных чисел $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$. Заметим, что каков бы ни был набор $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$, состоящий из нулей и единиц ($b_{j}\in \{0,1\}$), сумма $(-1)^{b_{1}}a_{1}+\ldots+(-1)^{b_{j}}a_{j}+\ldots+(-1)^{b_{n}}a_{n}$ имеет одну и ту же четность. Иными словами, если в некоторой сумме поменять знаки нескольких слагаемых, четность суммы от этого не поменяется.

Пойдем по кругу по часовой стрелке и будем складывать разности, причем вычитать будем из следующего (по часовой стрелке) числа. Поскольку мы начали и закончили одним и тем же числом, то итоговая сумма равна нулю. Теперь, если в этой сумме поменять знак отрицательных разностей, то получим сумму модулей из условия. Из замечания в начале следует, что эта сумма четна (поскольку первая сумма равна нулю), однако она равна 4*1+4*2+3*3 - число нечетное, противоречие.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Незнайка выписал 11 натуральных чисел и вычислил разности между соседними числами. Известно, что среди этих разностей 4 единицы, 4 двойки и 3 тройки.

Предположим, что Незнайка не допустил ошибки и рассмотрим возможные варианты, как он мог бы получить такие разности. Посмотрим на наименьшее и наибольшее число из этой последовательности. Пусть $a$ - наименьшее число, $b$ - наибольшее число.

1. Если наибольшее и наименьшее число отличаются на 3 или более:

   Рассмотрим случай, когда разница между $b$ и $a$ больше или равна 3. Поскольку последовательность чисел замкнута, разность между первым и последним числом также должна быть больше или равна 3. Но в этом случае мы не можем получить 4 единицы, 4 двойки и 3 тройки.

2. Если наибольшее и наименьшее число отличаются на 2:

   В этом случае разности между числами могут быть: 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1. Здесь у нас 5 разностей по 2 и 5 разностей по 1. Но нет 4 единиц, 4 двоек и 3 троек.

3. Если наибольшее и наименьшее число отличаются на 1:

   Разности могут быть: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3. Здесь у нас 5 разностей по 1, 4 разностей по 2 и 1 разность по 3. Опять же, нет 4 единиц, 4 двоек и 3 троек.

4. Если наибольшее и наименьшее число одинаковы:

   В этом случае у нас есть только одна возможность: все числа одинаковы. Но в этом случае разности между числами будут все равны 0, что не соответствует данным задачи.

Таким образом, мы видим, что Незнайка не мог правильно выполнить задачу, так как невозможно составить последовательность из 11 натуральных чисел, чтобы получить 4 единицы, 4 двойки и 3 тройки в разностях между соседними числами. Он где-то допустил ошибку в своих вычислениях.