Question

Вася написал 4 натуральных числа и перемножил их. Полученный результат содержит более 20 цифр последние 4 из них 2020 . Докажите, что среди Васиных чисел обязательно есть кратное 4, если известно, что сумма написанных чисел – нечетна.

Answer 1

Допустим среди сомножителей нет чисел кратных 4. Тогда  не меньше двух из них четны (произведение делится на 4)

Но сумма тогда может быть нечетна только если четных чисел  три.

В  этом случае произведение делится на 8.

Но для  того, чтобы число делилось на 8 необходимо и достаточно, чтобы число образованное тремя последними цифрами делилось на 8.

020=20 на 8 не делится.

Значит  нечетных чисел среди сомножителей 3, а один сомножиитель кратен 4.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Вася написал 4 натуральных числа и перемножил их, и получил результат с последними четырьмя цифрами 2020.

Обозначим числа, которые Вася написал, как a, b, c и d. Тогда мы знаем, что:

abcd ≡ 2020 (mod 10000)

Теперь давайте рассмотрим остатки этих чисел при делении на 4. Остаток от деления на 4 может быть только 0, 1, 2 или 3.

• Если все числа a, b, c и d дают остаток 0 при делении на 4, то их произведение тоже будет давать остаток 0 при делении на 4. Но у нас известно, что сумма этих чисел нечетна, что исключает этот вариант.

• Если только одно из чисел a, b, c и d даёт остаток 0 при делении на 4, то их произведение также будет давать остаток 0 при делении на 4. Этот вариант также исключается, так как сумма чисел нечетна.

• Если два из чисел a, b, c и d дают остаток 0 при делении на 4, то их произведение снова будет давать остаток 0 при делении на 4, и этот вариант также исключается из-за нечетной суммы.

Таким образом, остается только один возможный вариант: три из чисел a, b, c и d дают остаток 2 при делении на 4, и одно из чисел даёт остаток 3 при делении на 4 (поскольку сумма чисел нечетна, а остаток 3 является единственным нечетным остатком среди 0, 1, 2 и 3).

Это означает, что среди чисел a, b, c и d обязательно есть одно, которое кратно 4, так как только в этом случае его остаток при делении на 4 будет равен 0. Таким образом, утверждение доказано.