Question

Найти промежутки выпуклости. Точки перегиба. y=(2x+3)e^(5*x)

Answer 1

Дана функция f(x)=x^4-3x^3+2x^2+x+4.
Первая производная функции равна:
y' =4x³ - 9x² + 4x + 1.
Вторая производная равна:
y'' = 12x² - 18x + 4.
Приравниваем её нулю:
12x² - 18x + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-18)^2-4*12*4=324-4*12*4=324-48*4=324-192=132;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=√132-(-18))/(2*12)=(√132+18)/(2*12) = = (√132+18)/24=√132/24+18/24=2root132/24+0.75 ≈ 1,228714;x_2=(-√132-(-18))/(2*12)=(-√132+18)/(2*12)=(-√132+18)/24=
= -√132/24+18/24=-√132/24+0.75 ≈ 0,2712864.
Получили 2 точки перегиба графика функции:
х = 1,228714 и х = 0,2712864, и 3 промежутка выпуклости графика.
Находим знаки второй производной на найденных промежутках.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x = 0 0,27129 1 1,22871 2
y'' = 4 0 -2 0 16.
Как видим, график на двух промежутках вогнутый: (-∞; ((3/4)-(11/3)^1/2)/4)) и ((3/4)+(11/3)^1/2)/4).
На промежутке (((3/4)+(11/3)^1/2)/4); +∞) график выпуклый.

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции $y = (2x + 3)e^{5x}$, мы будем использовать вторую производную функции. Сначала найдем первую и вторую производные функции:

Первая производная: $y' = (2x + 3)e^{5x} + (2)e^{5x} = (2x + 5)e^{5x}$

Вторая производная: $y'' = (2x + 5)e^{5x} + (2)e^{5x} = (2x + 7)e^{5x}$

Теперь, чтобы найти точки перегиба, мы будем искать значения $x$, при которых $y'' = 0$:

$(2x + 7)e^{5x} = 0$

Так как экспоненциальная функция $e^{5x}$ всегда положительна, то уравнение будет равно нулю только в случае, если $2x + 7 = 0$:

$2x = -7$

$x = -\frac{7}{2}$

Теперь мы знаем, что точка перегиба находится при $x = -\frac{7}{2}$. Чтобы определить, является ли эта точка точкой перегиба, найдем значение $y''$ при этом значении:

$y''\left(-\frac{7}{2}\right) = \left(2\left(-\frac{7}{2}\right) + 7\right)e^{5\left(-\frac{7}{2}\right)} = (-7)e^{-\frac{35}{2}}$

Так как экспоненциальная функция $e^{-\frac{35}{2}}$ положительна, то знак значения $y''$ зависит только от $-7$. Поскольку $-7$ отрицательно, то это означает, что точка $\left(-\frac{7}{2}, (-7)e^{-\frac{35}{2}}\right)$ является точкой перегиба.

Теперь давайте найдем промежутки выпуклости и вогнутости, используя знак второй производной $y''$.

1. Если $y'' > 0$, то функция выпуклая.
2. Если $y'' < 0$, то функция вогнута.
3. Если $y'' = 0$, то функция может иметь точку перегиба.

Мы уже знаем, что точка перегиба находится при $x = -\frac{7}{2}$, и $y''$ отрицательно в этой точке. Это означает, что функция вогнута слева от точки перегиба ($x < -\frac{7}{2}$) и выпукла справа от точки перегиба ($x > -\frac{7}{2}$).

Итак, промежуток выпуклости: $x > -\frac{7}{2}$ Промежуток вогнутости: $x < -\frac{7}{2}$

Таким образом, мы определили промежутки выпуклости и точку перегиба для функции $y = (2x + 3)e^{5x}$.