Question

Вычислить двойной интеграл ydxdy по области D, где D ограничена линиями x=0, y=0, x+y=1

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \iint \limits _{D}\, y\, dx\, dy=\int\limits_0^1\, dx\int\limits_0^{1-x}\, y\, dy=\int\limits_0^1\, dx\Big(\frac{y^2}{2}\Big|_0^{1-x}\Big)=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\, (1-x)^2\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-x)^3}{-3}\Big|_0^1=-\frac{1}{6}\cdot \Big(0-1\Big)=\frac{1}{6}$

Answer 2

Для вычисления двойного интеграла ∬_D y dxdy по области D, ограниченной линиями x=0, y=0 и x+y=1, мы можем воспользоваться следующими пределами интегрирования:

0 ≤ x ≤ 1 - y 0 ≤ y ≤ 1

Итак, мы интегрируем сначала по x, а затем по y:

∬_D y dxdy = ∫[0, 1] ∫[0, 1-y] y dxdy

Сначала проинтегрируем по x:

∫[0, 1-y] y dx = y∫[0, 1-y] dx = y[x]_0^(1-y) = y(1-y) = y - y^2

Теперь проинтегрируем полученное выражение по y:

∫[0, 1] (y - y^2) dy = 1/2y^2 - 1/3y^3 |[0, 1]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

(1/21^2 - 1/31^3) - (1/20^2 - 1/30^3) = 1/2 - 1/3 = 1/6

Итак, значение двойного интеграла ∬_D y dxdy по области D равно 1/6.